Grátis: Determine a solução da equação \(y' = 5y + 3\). a) \(y = Ce^{5x} - \frac{3}{5}\) b) \(y = Ce^{-5x} + \frac{3}{5}\) c) \(y = \frac{3}{5}e^{5x} + C\...

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Determine a solução da equação \(y' = 5y + 3\).

a) \(y = Ce^{5x} - \frac{3}{5}\)
b) \(y = Ce^{-5x} + \frac{3}{5}\)
c) \(y = \frac{3}{5}e^{5x} + C\)
d) \(y = Ce^{5x} + \frac{3}{5}\)

Progresso com Exercícios

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Para resolver a equação diferencial \(y' = 5y + 3\), podemos usar o método de separação de variáveis ou o método do fator integrante. Neste caso, vamos usar o método do fator integrante. 1. Reescrevemos a equação na forma padrão: \[ y' - 5y = 3 \] 2. O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por: \[ \mu(x) = e^{\int -5 \, dx} = e^{-5x} \] 3. Multiplicamos toda a equação pela \( \mu(x) \): \[ e^{-5x}y' - 5e^{-5x}y = 3e^{-5x} \] 4. A equação agora pode ser reescrita como: \[ \frac{d}{dx}(e^{-5x}y) = 3e^{-5x} \] 5. Integrando ambos os lados: \[ e^{-5x}y = -\frac{3}{5}e^{-5x} + C \] 6. Multiplicando por \(e^{5x}\) para isolar \(y\): \[ y = Ce^{5x} - \frac{3}{5} \] Portanto, a solução da equação \(y' = 5y + 3\) é: a) \(y = Ce^{5x} - \frac{3}{5}\) A alternativa correta é a) \(y = Ce^{5x} - \frac{3}{5}\).

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