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**Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\). Assim, a 
integral se torna \(\int_0^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left( x - 
\frac{\sin(2x)}{2} \right) \bigg|_0^{\pi} = \frac{\pi}{2}\). 
 
35. **Problema:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 4x}{5x^2 + 2}\). 
 a) \(\frac{3}{5}\) 
 b) \(\frac{4}{5}\) 
 c) \(\frac{5}{3}\) 
 d) 1 
 **Resposta:** a) \(\frac{3}{5}\) 
 **Explicação:** Focamos nos termos de maior grau no numerador e no denominador. 
Assim, temos \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{5x^2} = \frac{3}{5}\). 
 
36. **Problema:** Calcule a integral \(\int_1^2 (3x^2 - 4) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** c) 1 
 **Explicação:** A integral se calcula como \(\int_1^2 3x^2 \, dx - \int_1^2 4 \, dx = \left[ 
x^3 \right]_1^2 - \left[ 4x \right]_1^2 = (8 - 1) - (8 - 4) = 7 - 4 = 3\). 
 
37. **Problema:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \(-1\) 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** Usamos a definição da derivada da função \(\tan(x)\) em \(x = 0\). A 
derivada é \(1\), e avaliando em \(x = 0\), obtemos \(1\). 
 
38. **Problema:** Calcule a integral \(\int x e^{x^2} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
 b) \(\frac{1}{2} e^{2x} + C\) 
 c) \(\frac{1}{2} e^{x} + C\) 
 d) \(\frac{1}{3} e^{x^2} + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = x^2\), então \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = 
\frac{du}{2x}\). A nova integral se torna \(\frac{1}{2} \int e^{u} \, du\), que resulta em 
\(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\). 
 
39. **Problema:** Determine a solução da equação \(y' = 5y + 3\). 
 a) \(y = Ce^{5x} - \frac{3}{5}\) 
 b) \(y = Ce^{-5x} + \frac{3}{5}\) 
 c) \(y = \frac{3}{5}e^{5x} + C\) 
 d) \(y = Ce^{5x} + \frac{3}{5}\) 
 **Resposta:** a) \(y = Ce^{5x} - \frac{3}{5}\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear. A solução geral é dada por \(y = 
Ce^{kx} - \frac{b}{k}\), onde \(k = 5\) e \(b = 3\). 
 
40. **Problema:** Calcule a integral \(\int (2x^3 + 3x^2 + 4) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2} x^4 + x^3 + 4x + C\) 
 b) \(\frac{1}{4} x^4 + x^3 + 4x + C\) 
 c) \(\frac{1}{3} x^4 + x^3 + 4x + C\) 
 d) \(\frac{1}{5} x^4 + x^3 + 4x + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2} x^4 + x^3 + 4x + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(2x^3\) é \(\frac{1}{2} x^4\), a integral de \(3x^2\) é \(x^3\) e 
a integral de \(4\) é \(4x\). Portanto, somando tudo, temos \(\frac{1}{2} x^4 + x^3 + 4x + C\). 
 
41. **Problema:** Calcule o valor de \(\int_0^{\pi} \cos^2(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{3}\) 
 c) \(\frac{\pi}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi}{6}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\). Assim, a 
integral se torna \(\int_0^{\pi} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left( x + 
\frac{\sin(2x)}{2} \right) \bigg|_0^{\pi} = \frac{\pi}{4}\). 
 
42. **Problema:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\). 
 a) 2 
 b) 1 
 c) 0 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta:** a) 2 
 **Explicação:** Usamos a limitação \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k\). Portanto, 
temos \(k = 2\), resultando em \(2\). 
 
43. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** A integral se calcula como \(\int_0^1 4x^3 \, dx - \int_0^1 2x^2 \, dx + 
\int_0^1 3 \, dx = 1 - \frac{2}{3} + 3 = 3\). 
 
44. **Problema:** Determine a solução da equação \(y' = -2y + 1\). 
 a) \(y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2}\) 
 b) \(y = Ce^{2x} - \frac{1}{2}\) 
 c) \(y = \frac{1}{2}e^{-2x} + C\) 
 d) \(y = Ce^{-2x} - \frac{1}{2}\) 
 **Resposta:** a) \(y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear. A solução geral é dada por \(y = 
Ce^{-kx} + \frac{b}{k}\), onde \(k = 2\) e \(b = 1\). 
 
45. **Problema:** Calcule o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix}\).