Encontre a solução geral da equação diferencial dy/dx + y tan(x) = 0.

A) y = Ce^(-ln|cos(x)|)
B) y = Ce^(sin(x))
C) y = Ccos(x)
D) y = Ce^(-tan(x))

Question

Encontre a solução geral da equação diferencial dy/dx + y tan(x) = 0.

A) y = Ce^(-ln|cos(x)|)
B) y = Ce^(sin(x))
C) y = Ccos(x)
D) y = Ce^(-tan(x))

Ed · Answer

Para resolver a equação diferencial $ \frac{dy}{dx} + y \tan(x) = 0 $, podemos usar o método de separação de variáveis.

1. Reescrevendo a equação, temos:
   $$
   \frac{dy}{dx} = -y \tan(x)
   $$

2. Separando as variáveis, obtemos:
   $$
   \frac{dy}{y} = -\tan(x) dx
   $$

3. Integrando ambos os lados:
   $$
   \int \frac{dy}{y} = -\int \tan(x) dx
   $$

4. A integral de $ \frac{1}{y} $ é $ \ln|y| $ e a integral de $ \tan(x) $ é $ -\ln|\cos(x)| $:
   $$
   \ln|y| = -\ln|\cos(x)| + C
   $$

5. Exponenciando ambos os lados, temos:
   $$
   |y| = e^{C} \cdot \frac{1}{|\cos(x)|}
   $$

6. Assim, a solução geral pode ser escrita como:
   $$
   y = C \cdot \frac{1}{\cos(x)} = C \cdot \sec(x)
   $$

No entanto, a forma que se aproxima mais da solução dada nas alternativas é:
$$
y = Ce^{-\ln|\cos(x)|} = C \cdot \frac{1}{\cos(x)}
$$

Portanto, a alternativa correta é:
A) $ y = Ce^{-\ln|cos(x)|} $

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