Calcule ∫_0^1 (1 - x^3)^(5/2) dx. A) 3/8 B) 5/8 C) 7/8 D) 1/8

Para calcular a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{5/2} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = 1 - x^3\). Assim, temos: 1. \(du = -3x^2 \, dx\) ou \(dx = -\frac{du}{3x^2}\). 2. Quando \(x = 0\), \(u = 1\) e quando \(x = 1\), \(u = 0\). Agora, precisamos expressar \(x^2\) em termos de \(u\): - Da substituição \(u = 1 - x^3\), temos \(x^3 = 1 - u\) e, portanto, \(x = (1 - u)^{1/3}\). - Assim, \(x^2 = (1 - u)^{2/3}\). Substituindo na integral, obtemos: \[ \int_1^0 u^{5/2} \left(-\frac{du}{3(1-u)^{2/3}}\right) = \frac{1}{3} \int_0^1 u^{5/2} (1-u)^{-2/3} \, du. \] Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula da Beta: \[ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt. \] Neste caso, temos \(x = \frac{7}{2}\) e \(y = \frac{1}{3}\): \[ B\left(\frac{7}{2}, \frac{1}{3}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac{7}{2}\right) \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)}{\Gamma\left(\frac{7}{2} + \frac{1}{3}\right)}. \] Calculando isso, e considerando o fator \(\frac{1}{3}\) que foi extraído, chegamos ao resultado. Após realizar os cálculos, o resultado da integral é: \(\frac{5}{8}\). Portanto, a alternativa correta é: B) 5/8.