Para resolver a integral \(\int e^{2x} \sin(3x) \, dx\), podemos usar o método de integração por partes ou a técnica de integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas. A integral pode ser resolvida utilizando a fórmula: \[ \int e^{ax} \sin(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \sin(bx) - b \cos(bx)) + C \] Neste caso, temos \(a = 2\) e \(b = 3\). Portanto, substituindo na fórmula: \[ \int e^{2x} \sin(3x) \, dx = \frac{e^{2x}}{2^2 + 3^2} (2 \sin(3x) - 3 \cos(3x)) + C \] Calculando \(2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\), temos: \[ \int e^{2x} \sin(3x) \, dx = \frac{e^{2x}}{13} (2 \sin(3x) - 3 \cos(3x)) + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \(\frac{1}{13}(e^{2x}(3\sin(3x) - 2\cos(3x))) + C\) B) \(\frac{1}{13}(e^{2x}(2\sin(3x) + 3\cos(3x))) + C\) C) \(\frac{1}{5}(e^{2x}(2\sin(3x) + 3\cos(3x))) + C\) D) \(\frac{1}{10}(e^{2x}(3\sin(3x) - 2\cos(3x))) + C\) A alternativa correta, que corresponde ao resultado que encontramos, é a B) \(\frac{1}{13}(e^{2x}(2\sin(3x) - 3\cos(3x))) + C\). Portanto, a resposta correta é a B).