Encontre a derivada de h(x) = x^3 \ln(x). a) 3x^2 \ln(x) + x^2 b) 3x^2 \ln(x) + \frac{x^3}{x} c) 3x^2 \ln(x) + 3x d) x^2 \ln(x) + x^3

Para encontrar a derivada da função \( h(x) = x^3 \ln(x) \), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ (uv)' = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = x^3 \) e \( v(x) = \ln(x) \). Calculando as derivadas: - \( u'(x) = 3x^2 \) - \( v'(x) = \frac{1}{x} \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ h'(x) = u'v + uv' = (3x^2)(\ln(x)) + (x^3)\left(\frac{1}{x}\right) \] Simplificando a segunda parte: \[ h'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) - Correto! b) \( 3x^2 \ln(x) + \frac{x^3}{x} \) - Isso simplifica para \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \), mas não é a forma mais direta. c) \( 3x^2 \ln(x) + 3x \) - Incorreto. d) \( x^2 \ln(x) + x^3 \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: a) 3x^2 \ln(x) + x^2.