247GG calculadora

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c) \(e^{2x}(x^2 + 2x^2)\) 
 d) \(e^{2x}(2x^2 + 2x)\) 
 **Resposta:** d) \(e^{2x}(2x^2 + 2x)\) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto: \(f'(x) = e^{2x}(2x) + x^2(2e^{2x}) = e^{2x}(2x + 
2x^2)\). 
 
4. **Problema 4:** Calcule a série de Taylor de \(f(x) = \cos(x)\) em torno de \(x = 0\) até o 
termo de \(x^4\). 
 a) \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\) 
 b) \(1 - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}\) 
 c) \(1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}\) 
 d) \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{12}\) 
 **Resposta:** a) \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \(\cos(x)\) é dada por \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-
1)^n x^{2n}}{(2n)!}\), resultando nos primeiros termos como \(1 - \frac{x^2}{2} + 
\frac{x^4}{24}\). 
 
5. **Problema 5:** Determine a integral: \(\int e^{3x} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\) 
 b) \(3e^{3x} + C\) 
 c) \(\frac{1}{3} e^{3x}\) 
 d) \(e^{3x} + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(e^{kx}\) é \(\frac{1}{k} e^{kx} + C\). Aqui, \(k = 3\), então 
\(\int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C\). 
 
6. **Problema 6:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x^2}{3x^3 + 4}\). 
 a) \(\frac{5}{3}\) 
 b) \(\frac{2}{3}\) 
 c) 0 
 d) 1 
 **Resposta:** a) \(\frac{5}{3}\) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau \(x^3\), temos \(\lim_{x \to 
\infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{3 + \frac{4}{x^3}} = \frac{5}{3}\). 
 
7. **Problema 7:** Determine a derivada de \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(g'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 
8. **Problema 8:** Calcule a integral: \(\int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{8}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi}{6}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), a integral se 
torna \(\frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}\). 
 
9. **Problema 9:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) 10 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 5\), temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = 5\). 
 
10. **Problema 10:** Determine a integral: \(\int (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C\) 
 b) \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4 + C\) 
 c) \(\frac{1}{2}x^4 - x^2 + 4x + C\) 
 d) \(\frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C\) 
 **Explicação:** A integral de cada termo é calculada separadamente: \(\int 2x^3 \, dx = 
\frac{1}{2}x^4\), \(\int -3x^2 \, dx = -x^3\), e \(\int 4 \, dx = 4x\). 
 
11. **Problema 11:** Encontre a derivada de \(h(x) = x^3 \ln(x)\). 
 a) \(3x^2 \ln(x) + x^2\) 
 b) \(3x^2 \ln(x) + \frac{x^3}{x}\) 
 c) \(3x^2 \ln(x) + 3x\) 
 d) \(x^2 \ln(x) + x^3\) 
 **Resposta:** a) \(3x^2 \ln(x) + x^2\) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \(h'(x) = \ln(x) \cdot 3x^2 + x^3 \cdot 
\frac{1}{x} = 3x^2 \ln(x) + x^2\). 
 
12. **Problema 12:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** d) 3 
 **Explicação:** Usando a fatoração, \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\). Portanto, \(\lim_{x \to 
1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3\). 
 
13. **Problema 13:** Determine a integral: \(\int_1^2 (3x^2 - 4x + 2) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) 2 
 d) \(\frac{5}{3}\) 
 **Resposta:** a) 1