Encontre a solução da equação diferencial $ y' + y = e^{2x} $.

a) $ y = Ce^{-x} + \frac{1}{3}e^{2x} $
b) $ y = Ce^{-x} + \frac{1}{2}e^{2x} $
c) $ y = Ce^{x} + \frac{1}{3}e^{2x} $
d) $ y = Ce^{x} + \frac{1}{2}e^{2x} $

Question

Encontre a solução da equação diferencial $ y' - 2y = 3e^{4x} $.

a) $ y = Ce^{2x} + \frac{3}{2}e^{4x} $
b) \( y = Ce^{2x} + \frac{3}{4}e^{4x} ...

Ed · Answer

Para resolver a equação diferencial $ y' - 2y = 3e^{4x} $, vamos usar o método do fator integrante.

1. **Identificar a equação**: A equação está na forma padrão $ y' + P(x)y = Q(x) $, onde $ P(x) = -2 $ e $ Q(x) = 3e^{4x} $.

2. **Calcular o fator integrante**: O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por $ e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -2 \, dx} = e^{-2x} $.

3. **Multiplicar a equação pela fator integrante**:
   $$
   e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = 3e^{2x}
   $$

4. **Reescrever a equação**:
   $$
   \frac{d}{dx}(e^{-2x}y) = 3e^{2x}
   $$

5. **Integrar ambos os lados**:
   $$
   e^{-2x}y = \int 3e^{2x} \, dx = \frac{3}{2}e^{2x} + C
   $$

6. **Multiplicar por $ e^{2x} $** para isolar $ y $:
   $$
   y = Ce^{2x} + \frac{3}{2}e^{4x}
   $$

Agora, analisando as alternativas:

a) $ y = Ce^{2x} + \frac{3}{2}e^{4x} $ - Correta.

b) $ y = Ce^{2x} + \frac{3}{4}e^{4x} $ - Incorreta.

c) $ y = Ce^{4x} + \frac{3}{4}e^{2x} $ - Incorreta.

d) $ y = Ce^{2x} + \frac{3}{8}e^{4x} $ - Incorreta.

Portanto, a alternativa correta é: **a) $ y = Ce^{2x} + \frac{3}{2}e^{4x} $**.

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Determine o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\).

a) 1
b) 2
c) 0
d) Infinito

Calcule \( \int_0^1 x^2 \sqrt{1 - x^2} \, dx \).

a) \( \frac{1}{8} \)
b) \( \frac{1}{10} \)
c) \( \frac{1}{12} \)
d) \( \frac{1}{16} \)

Problema: Determine o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \).

A) 0
B) 3
C) 1
D) 6

Calcule a integral \( \int \sin^3(x) \, dx \).

A) \( -\frac{1}{3} \cos^3(x) + C \)
B) \( -\frac{1}{3} \cos(x) + C \)
C) \( \frac{3}{4} \sin^2(x) - \frac{1}{4} \sin^4(x) + C \)
D) \( -\frac{1}{3} \sin^3(x) + C \)

Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{1/3} \, dx\).

a) \frac{3}{8}
b) \frac{2}{5}
c) \frac{1}{3}
d) \frac{4}{15}