Para calcular a integral \( \int \sin^3(x) \, dx \), podemos usar a identidade de redução. A função \( \sin^3(x) \) pode ser reescrita como \( \sin(x) \cdot \sin^2(x) \) e, usando a identidade \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \), temos: \[ \int \sin^3(x) \, dx = \int \sin(x) (1 - \cos^2(x)) \, dx \] Isso se expande para: \[ \int \sin(x) \, dx - \int \sin(x) \cos^2(x) \, dx \] A primeira parte, \( \int \sin(x) \, dx \), é \( -\cos(x) + C \). Para a segunda parte, podemos usar a substituição \( u = \cos(x) \), onde \( du = -\sin(x) \, dx \). Assim, temos: \[ \int \sin(x) \cos^2(x) \, dx = -\int u^2 \, du = -\frac{u^3}{3} + C = -\frac{\cos^3(x)}{3} + C \] Portanto, a integral completa se torna: \[ -\cos(x) + \frac{\cos^3(x)}{3} + C \] Reorganizando, obtemos: \[ \int \sin^3(x) \, dx = -\frac{1}{3} \cos^3(x) + C \] Assim, a alternativa correta é: A) \( -\frac{1}{3} \cos^3(x) + C \)