Calcule \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \). a) \( 1 \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a antiderivada: A antiderivada de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \), a antiderivada de \( 2x \) é \( x^2 \), e a antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Portanto, a antiderivada de \( x^2 + 2x + 1 \) é: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + x \] 2. Avaliar a integral definida: Agora, precisamos avaliar \( F(x) \) de 0 a 1: \[ F(1) = \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3} \] \[ F(0) = \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 = 0 \] 3. Calcular a integral: Agora, subtraímos os valores: \[ \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3} \] Portanto, a resposta correta é \( \frac{7}{3} \), e não \( 1 \).