Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{1/3} \, dx\). a) \frac{3}{8} b) \frac{2}{5} c) \frac{1}{3} d) \frac{4}{15}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{1/3} \, dx\), podemos usar uma substituição. Vamos fazer a substituição \(u = 1 - x^3\), o que implica que \(du = -3x^2 \, dx\) ou \(dx = -\frac{du}{3x^2}\). Quando \(x = 0\), \(u = 1\) e quando \(x = 1\), \(u = 0\). Assim, a integral se transforma em: \[ \int_1^0 u^{1/3} \left(-\frac{du}{3x^2}\right) \] Precisamos expressar \(x\) em termos de \(u\). Da substituição \(u = 1 - x^3\), temos \(x = (1 - u)^{1/3}\). Portanto, \(x^2 = (1 - u)^{2/3}\). Substituindo isso na integral, obtemos: \[ \int_1^0 u^{1/3} \left(-\frac{du}{3(1 - u)^{2/3}}\right) = \frac{1}{3} \int_0^1 u^{1/3} (1 - u)^{-2/3} \, du \] Essa integral é uma forma da função beta, que pode ser resolvida usando a fórmula: \[ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \] Neste caso, temos \(x = \frac{4}{3}\) e \(y = \frac{1}{3}\): \[ B\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac{4}{3}\right) \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)}{\Gamma\left(\frac{5}{3}\right)} \] Usando a relação \(\Gamma\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{2}{3} \Gamma\left(\frac{2}{3}\right)\) e a propriedade da função gama, podemos calcular a integral. Após resolver, encontramos que: \[ \int_0^1 (1 - x^3)^{1/3} \, dx = \frac{3}{8} \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{3}{8}\)