Problema 70: Calcule a integral \( \int_1^2 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx \). A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Para calcular a integral \( \int_1^2 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( 4x^3 - 2x^2 + 3 \). 1. A antiderivada de \( 4x^3 \) é \( x^4 \). 2. A antiderivada de \( -2x^2 \) é \( -\frac{2}{3}x^3 \). 3. A antiderivada de \( 3 \) é \( 3x \). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 3x \] Agora, vamos calcular \( F(2) \) e \( F(1) \): - Para \( x = 2 \): \[ F(2) = 2^4 - \frac{2}{3}(2^3) + 3(2) = 16 - \frac{16}{3} + 6 = 16 + 6 - \frac{16}{3} = 22 - \frac{16}{3} = \frac{66}{3} - \frac{16}{3} = \frac{50}{3} \] - Para \( x = 1 \): \[ F(1) = 1^4 - \frac{2}{3}(1^3) + 3(1) = 1 - \frac{2}{3} + 3 = 1 + 3 - \frac{2}{3} = 4 - \frac{2}{3} = \frac{12}{3} - \frac{2}{3} = \frac{10}{3} \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_1^2 (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx = F(2) - F(1) = \frac{50}{3} - \frac{10}{3} = \frac{40}{3} \] Como \( \frac{40}{3} \) não está entre as opções, parece que houve um erro nas alternativas fornecidas. No entanto, a resposta correta para a integral é \( \frac{40}{3} \). Se precisar de mais ajuda, é só avisar!