Para resolver essa questão, precisamos entender a posição da circunferência em relação às retas dadas e ao ponto (0, 0). As retas x + 2y = 0 e x + 2y = 10 são paralelas. A distância entre elas pode ser calculada, e a circunferência que tangencia essas retas terá seu centro localizado na linha que está equidistante entre as duas. 1. Encontrar a distância entre as retas: A distância entre as retas paralelas \(Ax + By + C_1 = 0\) e \(Ax + By + C_2 = 0\) é dada pela fórmula: \[ d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Para as retas \(x + 2y = 0\) (C1 = 0) e \(x + 2y = 10\) (C2 = -10): \[ d = \frac{|(-10) - 0|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \] Portanto, o raio da circunferência será metade dessa distância, ou seja, \(r = \sqrt{5}\). 2. Centro da circunferência: O centro da circunferência deve estar na linha que é a média entre as duas retas. A equação da linha média é \(x + 2y = 5\). 3. Equação da circunferência: A equação geral da circunferência é dada por: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] onde \((h, k)\) é o centro e \(r\) é o raio. Precisamos encontrar um ponto que satisfaça a equação da linha média e que também passe pelo ponto (0, 0). 4. Verificando as alternativas: Agora, vamos verificar as alternativas dadas para ver qual delas representa a circunferência com centro na linha média e raio \(\sqrt{5}\). Após analisar as alternativas, a que se encaixa na forma da circunferência e que passa pelo ponto (0, 0) é: A: \(x² + y² - 2x - 4y = 0\). Portanto, a alternativa correta é a) x² + y² - 2x - 4y = 0.