Para resolver essa questão, precisamos calcular o tempo médio (esperança) e o desvio padrão da função de densidade de probabilidade dada. 1. Função de densidade de probabilidade: \( f(x) = \frac{3x^2}{125} \) para \( 0 \leq x \leq 5 \). 2. Cálculo do tempo médio (esperança): \[ E(X) = \int_{0}^{5} x \cdot f(x) \, dx = \int_{0}^{5} x \cdot \frac{3x^2}{125} \, dx = \frac{3}{125} \int_{0}^{5} x^3 \, dx \] Calculando a integral: \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \Big|_{0}^{5} = \frac{5^4}{4} - 0 = \frac{625}{4} \] Portanto: \[ E(X) = \frac{3}{125} \cdot \frac{625}{4} = \frac{3 \cdot 625}{125 \cdot 4} = \frac{3 \cdot 5}{4} = \frac{15}{4} = 3,75 \text{ minutos} \] 3. Cálculo do desvio padrão: Primeiro, precisamos calcular \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = \int_{0}^{5} x^2 \cdot f(x) \, dx = \int_{0}^{5} x^2 \cdot \frac{3x^2}{125} \, dx = \frac{3}{125} \int_{0}^{5} x^4 \, dx \] Calculando a integral: \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \Big|_{0}^{5} = \frac{5^5}{5} - 0 = 625 \] Portanto: \[ E(X^2) = \frac{3}{125} \cdot 625 = 15 \] 4. Desvio padrão: O desvio padrão é dado por: \[ \sigma = \sqrt{E(X^2) - (E(X))^2} = \sqrt{15 - (3,75)^2} = \sqrt{15 - 14,0625} = \sqrt{0,9375} \approx 0,9682 \text{ minutos} \] Resumindo: - Tempo médio (E(X)): \( 3,75 \) minutos - Desvio padrão (\( \sigma \)): \( \approx 0,9682 \) minutos