Problema 78: Determine a integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^3 + 3) \, dx\). Agora, escolha a alternativa CORRETA: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^3 + 3) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. A integral de \(x^4\) de 0 a 1: \[ \int_0^1 x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{1}{5} \] 2. A integral de \(-2x^3\) de 0 a 1: \[ \int_0^1 -2x^3 \, dx = -2 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = -2 \left( \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = -2 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} \] 3. A integral de \(3\) de 0 a 1: \[ \int_0^1 3 \, dx = 3 \left[ x \right]_0^1 = 3(1 - 0) = 3 \] Agora, somamos os resultados das integrais: \[ \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + 3) \, dx = \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + 3 \] Para somar, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre 5 e 2 é 10: \[ \frac{1}{5} = \frac{2}{10}, \quad -\frac{1}{2} = -\frac{5}{10}, \quad 3 = \frac{30}{10} \] Agora, somamos: \[ \frac{2}{10} - \frac{5}{10} + \frac{30}{10} = \frac{2 - 5 + 30}{10} = \frac{27}{10} = 2.7 \] Como 2.7 não está entre as opções, vamos verificar se houve algum erro. Na verdade, a soma correta é: \[ \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + 3 = \frac{2}{10} - \frac{5}{10} + \frac{30}{10} = \frac{27}{10} = 2.7 \] Parece que não há uma alternativa correta. No entanto, se considerarmos a soma de forma mais simples, a integral total é: \[ \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + 3 = 3 - 0.5 + 0.2 = 2.7 \] Portanto, a resposta correta, considerando as opções dadas, é a mais próxima, que é a alternativa b) 2.