Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x}\)? a) 0 b) 1 c) 4 d) 8

Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x}\), podemos usar a propriedade do limite fundamental que diz que \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1\). Neste caso, podemos fazer uma substituição. Se \(u = 4x\), então quando \(x \to 0\), \(u \to 0\) também. Assim, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} \cdot \frac{u}{x} \] Sabemos que \(u = 4x\), então \(\frac{u}{x} = 4\). Portanto, temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} = 4 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 4 \cdot 1 = 4 \] Assim, o valor do limite é \(4\). Portanto, a alternativa correta é: c) 4.