Problema 7: Calcule a integral \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx\). A) 1 B) 2 C) \(\frac{1}{2}\) D) -1

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Para calcular a integral \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada de \(\frac{1}{x^2}\). A antiderivada de \(\frac{1}{x^2}\) é \(-\frac{1}{x}\). Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \] Portanto, o resultado da integral é \(\frac{1}{2}\). A alternativa correta é: C) \(\frac{1}{2}\).

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Problema 5: Resolva a equação diferencial y' + 3y = e^{-2x}.

A) y = Ce^{-3x} + rac{1}{5}e^{-2x}
B) y = Ce^{-3x} + rac{1}{3}e^{-2x}
C) y = Ce^{-3x} + rac{1}{7}e^{-2x}
D) y = Ce^{-3x} + rac{1}{4}e^{-2x}

Problema 6: Determine a integral \(\int e^{3x} \cos(2e^{3x}) \, dx\).

A) \(\frac{1}{3} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\)
B) \(\frac{1}{2} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\)
C) \(\frac{1}{3} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\)
D) \(\frac{1}{5} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\)

Problema 8: Determine o valor de \(\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx\).

A) \(\frac{\pi}{2}\)
B) \(\frac{\pi}{4}\)
C) \(\frac{\pi}{3}\)
D) \(\frac{\pi}{6}\)

Problema 9: Calcule a integral \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx\).

A) \(\frac{1}{2}(e - 1)\)
B) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\)
C) \(\frac{1}{2}(e^2 + 1)\)
D) \(\frac{1}{2}(e - 1)\)

Problema 10: Encontre o valor de \(\frac{d^2}{dx^2}(x^3 + 3x^2 + 2x)\) em \(x=1\).

A) 9
B) 6
C) 3
D) 12

Problema 11: Calcule a integral \(\int x^4 \sin(x) \, dx\).

A) \(-x^4 \cos(x) + 4 \int x^3 \cos(x) \, dx\)
B) \(x^4 \cos(x) + 4 \int x^3 \sin(x) \, dx\)
C) \(x^4 \sin(x) - 4 \int x^3 \cos(x) \, dx\)
D) \(-x^4 \sin(x) + 4 \int x^3 \sin(x) \, dx\)

Problema 12: Determine o valor de \(\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx\).

A) 0
B) 1
C) -1
D) \(\frac{1}{3}\)

Problema 13: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\).

A) \(\ln(\ln(x)) + C\)
B) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\)
C) \(\ln(x) + C\)
D) \(\frac{1}{x} + C\)

Cálculo

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Problema 14: Determine o valor de \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\).

A) \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
B) \(\sqrt{\pi}\)
C) \(\frac{1}{2}\)
D) 1

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