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Problema 13: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\).

A) \(\ln(\ln(x)) + C\)
B) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\)
C) \(\ln(x) + C\)
D) \(\frac{1}{x} + C\)
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Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = \ln(x)\). Assim, temos que \(du = \frac{1}{x} \, dx\), o que nos permite reescrever a integral como: \[ \int \frac{1}{u} \, du \] A integral de \(\frac{1}{u}\) é \(\ln|u| + C\). Substituindo \(u\) de volta, obtemos: \[ \ln(\ln(x)) + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \(\ln(\ln(x)) + C\) - Esta é a resposta correta. B) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) - Incorreta. C) \(\ln(x) + C\) - Incorreta. D) \(\frac{1}{x} + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \(\ln(\ln(x)) + C\).

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Problema 5: Resolva a equação diferencial y' + 3y = e^{-2x}.

A) y = Ce^{-3x} + rac{1}{5}e^{-2x}
B) y = Ce^{-3x} + rac{1}{3}e^{-2x}
C) y = Ce^{-3x} + rac{1}{7}e^{-2x}
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A) \(\frac{1}{3} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\)
B) \(\frac{1}{2} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\)
C) \(\frac{1}{3} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\)
D) \(\frac{1}{5} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\)

Problema 7: Calcule a integral \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx\).

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Problema 8: Determine o valor de \(\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx\).

A) \(\frac{\pi}{2}\)
B) \(\frac{\pi}{4}\)
C) \(\frac{\pi}{3}\)
D) \(\frac{\pi}{6}\)

Problema 9: Calcule a integral \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx\).

A) \(\frac{1}{2}(e - 1)\)
B) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\)
C) \(\frac{1}{2}(e^2 + 1)\)
D) \(\frac{1}{2}(e - 1)\)

Problema 10: Encontre o valor de \(\frac{d^2}{dx^2}(x^3 + 3x^2 + 2x)\) em \(x=1\).

A) 9
B) 6
C) 3
D) 12

Problema 11: Calcule a integral \(\int x^4 \sin(x) \, dx\).

A) \(-x^4 \cos(x) + 4 \int x^3 \cos(x) \, dx\)
B) \(x^4 \cos(x) + 4 \int x^3 \sin(x) \, dx\)
C) \(x^4 \sin(x) - 4 \int x^3 \cos(x) \, dx\)
D) \(-x^4 \sin(x) + 4 \int x^3 \sin(x) \, dx\)

Problema 12: Determine o valor de \(\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx\).

A) 0
B) 1
C) -1
D) \(\frac{1}{3}\)

Problema 14: Determine o valor de \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\).

A) \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
B) \(\sqrt{\pi}\)
C) \(\frac{1}{2}\)
D) 1

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