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Problema 11: Calcule a integral \(\int x^4 \sin(x) \, dx\).

A) \(-x^4 \cos(x) + 4 \int x^3 \cos(x) \, dx\)
B) \(x^4 \cos(x) + 4 \int x^3 \sin(x) \, dx\)
C) \(x^4 \sin(x) - 4 \int x^3 \cos(x) \, dx\)
D) \(-x^4 \sin(x) + 4 \int x^3 \sin(x) \, dx\)
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há 9 meses

Para resolver a integral \(\int x^4 \sin(x) \, dx\), podemos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é dada por: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \(u = x^4\) (então \(du = 4x^3 \, dx\)) - \(dv = \sin(x) \, dx\) (então \(v = -\cos(x)\)) Aplicando a fórmula, temos: \[ \int x^4 \sin(x) \, dx = -x^4 \cos(x) - \int -\cos(x) \cdot 4x^3 \, dx \] Isso se simplifica para: \[ \int x^4 \sin(x) \, dx = -x^4 \cos(x) + 4 \int x^3 \cos(x) \, dx \] Portanto, a alternativa correta é: A) \(-x^4 \cos(x) + 4 \int x^3 \cos(x) \, dx\)

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Problema 5: Resolva a equação diferencial y' + 3y = e^{-2x}.

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B) \(\frac{\pi}{4}\)
C) \(\frac{\pi}{3}\)
D) \(\frac{\pi}{6}\)

Problema 9: Calcule a integral \(\int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx\).

A) \(\frac{1}{2}(e - 1)\)
B) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\)
C) \(\frac{1}{2}(e^2 + 1)\)
D) \(\frac{1}{2}(e - 1)\)

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A) 9
B) 6
C) 3
D) 12

Problema 12: Determine o valor de \(\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx\).

A) 0
B) 1
C) -1
D) \(\frac{1}{3}\)

Problema 13: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\).

A) \(\ln(\ln(x)) + C\)
B) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\)
C) \(\ln(x) + C\)
D) \(\frac{1}{x} + C\)

Problema 14: Determine o valor de \(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\).

A) \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
B) \(\sqrt{\pi}\)
C) \(\frac{1}{2}\)
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