Qual é o valor de z que satisfaz z^4 + 1 = 0? A) √2/2 + √2/2i B) √2/2 - √2/2i C) √2/2 + √2/2i, √2/2 - √2/2i

Para resolver a equação \( z^4 + 1 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^4 = -1 \). Sabemos que \( -1 \) pode ser representado na forma polar como \( e^{i\pi} \). Assim, podemos escrever: \[ z^4 = e^{i\pi} \] Para encontrar as raízes quartas, usamos a fórmula: \[ z = e^{i(\pi + 2k\pi)/4} \quad \text{para } k = 0, 1, 2, 3 \] Calculando para cada valor de \( k \): 1. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \] 2. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = e^{i(3\pi/4)} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i \] 3. Para \( k = 2 \): \[ z_2 = e^{i(5\pi/4)} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i \] 4. Para \( k = 3 \): \[ z_3 = e^{i(7\pi/4)} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \] As raízes que satisfazem a equação são \( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \) e \( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i \). Analisando as alternativas: A) \( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \) - Correta, mas não é a única. B) \( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i \) - Correta, mas não é a única. C) \( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i \) - Correta, pois inclui ambas as soluções. Portanto, a alternativa correta é: C) \( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i \).