Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 4x) \, dx \)? a) \( \frac{5}{3} \) b) \( 2 \) c) \( \frac{7}{3} \) d) \( 3 \)

Para calcular o valor da integral \( \int_0^1 (x^2 + 4x) \, dx \), vamos resolver passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \). - A antiderivada de \( 4x \) é \( 2x^2 \). - Portanto, a antiderivada de \( x^2 + 4x \) é \( \frac{x^3}{3} + 2x^2 \). 2. Avaliar a integral de 0 a 1: \[ \int_0^1 (x^2 + 4x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_0^1 \] - Avaliando em \( x = 1 \): \[ \frac{1^3}{3} + 2(1^2) = \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3} \] - Avaliando em \( x = 0 \): \[ \frac{0^3}{3} + 2(0^2) = 0 \] 3. Subtrair os valores: \[ \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3} \] Portanto, o valor da integral \( \int_0^1 (x^2 + 4x) \, dx \) é \( \frac{7}{3} \). A alternativa correta é: c) \( \frac{7}{3} \).