Resolva a equação z^3 - 1 = 0 e determine as raízes. a) z = 1, -1/2 + √3/2i, -1/2 - √3/2i b) z = 1, 0, -1 c) z = 1, 1 + i, 1 - i

Para resolver a equação \( z^3 - 1 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^3 = 1 \). As raízes da equação \( z^3 = 1 \) são as raízes cúbicas da unidade. As raízes cúbicas da unidade podem ser encontradas usando a forma polar. A raiz principal é \( z_0 = 1 \), e as outras raízes podem ser encontradas usando a fórmula: \[ z_k = \text{cis}\left(\frac{2k\pi}{3}\right) \quad \text{para } k = 0, 1, 2 \] onde \( \text{cis}(\theta) = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \). Calculando as raízes: 1. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = \text{cis}(0) = 1 \] 2. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = \text{cis}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \] 3. Para \( k = 2 \): \[ z_2 = \text{cis}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \] Portanto, as raízes da equação \( z^3 - 1 = 0 \) são: \[ z = 1, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \] Analisando as alternativas, a correta é: a) \( z = 1, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \)