determine a equação no plano tangente z = xy2 no ponto (1, 2, 4).

Para determinar a equação do plano tangente à superfície \( z = xy^2 \) no ponto \( (1, 2, 4) \), siga os passos abaixo: 1. Calcule as derivadas parciais: - A derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = y^2 \] - A derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 2xy \] 2. Avalie as derivadas no ponto \( (1, 2) \): - Para \( \frac{\partial z}{\partial x} \) em \( (1, 2) \): \[ \frac{\partial z}{\partial x}(1, 2) = 2^2 = 4 \] - Para \( \frac{\partial z}{\partial y} \) em \( (1, 2) \): \[ \frac{\partial z}{\partial y}(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 \] 3. Use a fórmula do plano tangente: A equação do plano tangente é dada por: \[ z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0) \] Substituindo os valores: \[ z - 4 = 4(x - 1) + 4(y - 2) \] 4. Simplifique a equação: \[ z - 4 = 4x - 4 + 4y - 8 \] \[ z = 4x + 4y - 8 + 4 \] \[ z = 4x + 4y - 4 \] Portanto, a equação do plano tangente no ponto \( (1, 2, 4) \) é: \[ z = 4x + 4y - 4 \]