Para encontrar a quantidade de números naturais que são divisores do mínimo múltiplo comum (MMC) entre os números \( a = 540 \), \( b = 720 \) e \( c = 1800 \), precisamos primeiro calcular o MMC desses números. 1. Fatoração dos números: - \( 540 = 2^1 \times 3^3 \times 5^1 \) - \( 720 = 2^4 \times 3^2 \times 5^1 \) - \( 1800 = 2^2 \times 3^3 \times 5^2 \) 2. MMC: O MMC é encontrado pegando o maior expoente de cada fator primo: - Para \( 2 \): o maior expoente é \( 4 \) (de \( 720 \)) - Para \( 3 \): o maior expoente é \( 3 \) (de \( 540 \) e \( 1800 \)) - Para \( 5 \): o maior expoente é \( 2 \) (de \( 1800 \)) Portanto, o MMC é: \[ MMC = 2^4 \times 3^3 \times 5^2 \] 3. Cálculo do MMC: \[ MMC = 16 \times 27 \times 25 \] - \( 16 \times 27 = 432 \) - \( 432 \times 25 = 10800 \) 4. Quantidade de divisores: Para encontrar a quantidade de divisores, usamos a fórmula: \[ (e_1 + 1)(e_2 + 1)(e_3 + 1) \] onde \( e_1, e_2, e_3 \) são os expoentes dos fatores primos no MMC. No nosso caso: - Para \( 2^4 \): \( 4 + 1 = 5 \) - Para \( 3^3 \): \( 3 + 1 = 4 \) - Para \( 5^2 \): \( 2 + 1 = 3 \) Portanto, a quantidade de divisores é: \[ 5 \times 4 \times 3 = 60 \] Assim, a quantidade de números naturais que são divisores do mínimo múltiplo comum entre os números dados é igual a 60. A alternativa correta é: E) 60.