Calcule o valor de \int_{0}^{1} (1 - x^2)^3 \, dx. a) \frac{1}{4} b) \frac{1}{5} c) \frac{1}{8} d) \frac{1}{3}

Para calcular a integral \(\int_{0}^{1} (1 - x^2)^3 \, dx\), vamos primeiro expandir a expressão \((1 - x^2)^3\) usando o binômio de Newton: \[ (1 - x^2)^3 = 1 - 3x^2 + 3x^4 - x^6 \] Agora, podemos integrar cada termo separadamente: \[ \int_{0}^{1} (1 - 3x^2 + 3x^4 - x^6) \, dx = \int_{0}^{1} 1 \, dx - 3\int_{0}^{1} x^2 \, dx + 3\int_{0}^{1} x^4 \, dx - \int_{0}^{1} x^6 \, dx \] Calculando cada integral: 1. \(\int_{0}^{1} 1 \, dx = [x]_{0}^{1} = 1\) 2. \(\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\) 3. \(\int_{0}^{1} x^4 \, dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}\) 4. \(\int_{0}^{1} x^6 \, dx = \left[\frac{x^7}{7}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{7}\) Substituindo os resultados na integral: \[ \int_{0}^{1} (1 - x^2)^3 \, dx = 1 - 3\left(\frac{1}{3}\right) + 3\left(\frac{1}{5}\right) - \left(\frac{1}{7}\right) \] Simplificando: \[ = 1 - 1 + \frac{3}{5} - \frac{1}{7} \] Para somar \(\frac{3}{5}\) e \(-\frac{1}{7}\), precisamos de um denominador comum, que é 35: \[ \frac{3}{5} = \frac{21}{35}, \quad -\frac{1}{7} = -\frac{5}{35} \] Portanto: \[ \frac{21}{35} - \frac{5}{35} = \frac{16}{35} \] Assim, a integral resulta em: \[ \int_{0}^{1} (1 - x^2)^3 \, dx = \frac{16}{35} \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Você pode verificar se a questão está correta ou se há um erro nas opções.