KV matematica com amor

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**Explicação**: Usamos a técnica de integração por partes e substituição para resolver 
essa integral. 
 
7. **Problema 7**: Determine a segunda derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 a) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{-4x}{(x^2 + 1)^2} \) 
 c) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
 d) \( \frac{-2}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta**: c) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
 **Explicação**: A primeira derivada é \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) e a segunda derivada é 
obtida por aplicação da regra do quociente. 
 
8. **Problema 8**: Encontre o valor de \( \int_{1}^{2} (x^3 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{4} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( \frac{3}{4} \) 
 **Resposta**: b) \( 1 \) 
 **Explicação**: A primitiva é \( F(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + x \). Avaliando de 1 a 2, temos \( 
F(2) - F(1) = (4 - 4 + 2) - (0.25 - 1 + 1) = 1 \). 
 
9. **Problema 9**: Calcule a integral \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). 
 a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 b) \( \frac{1}{x} + C \) 
 c) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) 
 d) \( \ln(x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \( u = \ln(x) \), resultando na integral \( \int 
\frac{1}{u} \, du = \ln(u) + C = \ln(\ln(x)) + C \). 
 
10. **Problema 10**: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 4} \). 
 a) \( \frac{3}{5} \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{3}{5} \) 
 **Explicação**: Dividindo numerador e denominador por \( x^2 \), obtemos \( \lim_{x \to 
\infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{5 - \frac{4}{x^2}} = \frac{3}{5} \). 
 
11. **Problema 11**: Calcule a integral \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( \frac{\pi}{3} \) 
 d) \( \frac{3\pi}{4} \) 
 **Resposta**: b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação**: Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \) e integramos 
para obter \( \frac{\pi}{4} \). 
 
12. **Problema 12**: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = x^3 - 3x + 2 \) no 
ponto \( x = 1 \). 
 a) \( y = 1 \) 
 b) \( y = 0 \) 
 c) \( y = 2x - 1 \) 
 d) \( y = 3x - 1 \) 
 **Resposta**: c) \( y = 2x - 1 \) 
 **Explicação**: A derivada \( y' = 3x^2 - 3 \) avaliada em \( x = 1 \) dá \( 0 \). O ponto é \( 
(1, 0) \), resultando na equação da reta tangente. 
 
13. **Problema 13**: Calcule o valor de \( \int_{0}^{1} (1 - x^2)^3 \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{5} \) 
 c) \( \frac{1}{8} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{4} \) 
 **Explicação**: Expandindo \( (1 - x^2)^3 \) e integrando termo a termo, obtemos \( 
\frac{1}{4} \). 
 
14. **Problema 14**: Encontre a primitiva de \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \). 
 a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 b) \( \ln(x^2 + 1) + C \) 
 c) \( \frac{1}{x} + C \) 
 d) \( \sin^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Explicação**: A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é a função arco-tangente. 
 
15. **Problema 15**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( e \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta**: a) \( 1 \) 
 **Explicação**: Usamos a regra de L'Hôpital, onde a derivada de \( e^x - 1 \) é \( e^x \) e 
a de \( x \) é \( 1 \). Assim, o limite é \( 1 \). 
 
16. **Problema 16**: Determine a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( e^{x^2} + C \) 
 c) \( x^2 e^{x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{x} e^{x^2} + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = x^2 \), temos \( du = 2x \, dx \), resultando 
em \( \frac{1}{2} e^{u} + C \). 
 
17. **Problema 17**: Calcule a integral \( \int \tan(x) \, dx \). 
 a) \( -\ln|\cos(x)| + C \) 
 b) \( \ln|\sin(x)| + C \)