Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \cos(x)}{x^3} \). a) 0 b) \( -\frac{1}{6} \) c) 1 d) \( \infty \)

Para determinar o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \cos(x)}{x^3} \), podemos usar a série de Taylor para \( \cos(x) \) em torno de \( x = 0 \): \[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \ldots \] Substituindo isso na expressão, temos: \[ x - \cos(x) = x - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) = x - 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} \] Assim, a expressão se torna: \[ x - \cos(x) = -1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} \] Quando \( x \to 0 \), o termo dominante é \( \frac{x^2}{2} \). Portanto, podemos simplificar: \[ x - \cos(x) \approx \frac{x^2}{2} \] Agora, substituindo na expressão do limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x - \cos(x)}{x^3} \approx \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2x} = 0 \] Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x - \cos(x)}{x^3} = 0 \] A alternativa correta é: a) 0.