Para determinar a derivada da função \( f(x) = \tan^{-1}(x^2 + 1) \), vamos usar a regra da cadeia. A derivada da função \( \tan^{-1}(u) \) em relação a \( u \) é \( \frac{1}{1 + u^2} \). Neste caso, \( u = x^2 + 1 \). 1. Primeiro, encontramos a derivada de \( u \): \[ \frac{du}{dx} = 2x \] 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{1 + (x^2 + 1)^2} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + (x^2 + 1)^2} \cdot 2x \] Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = \frac{2x}{1 + (x^2 + 1)^2} \] Analisando as alternativas, a correta é: a) \( \frac{2x}{1 + (x^2 + 1)^2} \)