Qual é o valor de \( an(60^ extcirc + 45^ extcirc) \)? a) \( 1 \) b) \( \sqrt{3} \) c) \( 0 \) d) \( 2 \)

Para resolver a questão, precisamos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos: \[ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \] Neste caso, temos \( A = 60^\circ \) e \( B = 45^\circ \). Primeiro, vamos calcular \( \tan(60^\circ) \) e \( \tan(45^\circ) \): - \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \) - \( \tan(45^\circ) = 1 \) Agora, substituindo na fórmula: \[ \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan(60^\circ) + \tan(45^\circ)}{1 - \tan(60^\circ) \tan(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \] Agora, precisamos simplificar essa expressão. Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador: \[ \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{-2} \] Calculando o numerador: \[ (\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} + 3 + 1 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 4 \] Portanto, temos: \[ \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{2\sqrt{3} + 4}{-2} = -(\sqrt{3} + 2) \] Como a pergunta pede o valor de \( \tan(60^\circ + 45^\circ) \), e não temos essa opção nas alternativas, vamos verificar se a soma dos ângulos foi feita corretamente. Na verdade, \( 60^\circ + 45^\circ = 105^\circ \), e a tangente de \( 105^\circ \) é negativa, mas não se encaixa nas opções dadas. Portanto, a resposta correta não está entre as opções apresentadas. Você pode verificar se a pergunta está correta ou se as opções estão completas.