Para determinar as tensões principais e o ângulo de inclinação do plano principal, podemos usar as seguintes fórmulas: 1. Tensões principais (σ1 e σ3): \[ \sigma_{1,3} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \] Substituindo os valores: \[ \sigma_{1,3} = \frac{30 + (-10)}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{30 - (-10)}{2}\right)^2 + 12^2} \] \[ \sigma_{1,3} = \frac{20}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{40}{2}\right)^2 + 12^2} \] \[ \sigma_{1,3} = 10 \pm \sqrt{20^2 + 12^2} \] \[ \sigma_{1,3} = 10 \pm \sqrt{400 + 144} \] \[ \sigma_{1,3} = 10 \pm \sqrt{544} \] \[ \sigma_{1,3} = 10 \pm 23.32 \] Portanto: \[ \sigma_1 \approx 33.32 \, \text{MPa} \quad \text{e} \quad \sigma_3 \approx -13.32 \, \text{MPa} \] 2. Tensões máximas e mínimas de cisalhamento (τmáx e τmín): \[ \tau_{máx} = \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} + \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \] \[ \tau_{máx} = \frac{30 - (-10)}{2} + \sqrt{\left(\frac{30 - (-10)}{2}\right)^2 + 12^2} \] \[ \tau_{máx} = 20 + 23.32 \approx 43.32 \, \text{MPa} \] \[ \tau_{mín} = \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} - \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \] \[ \tau_{mín} = 20 - 23.32 \approx -3.32 \, \text{MPa} \] 3. Ângulo de inclinação do plano principal (θp): \[ \tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} \] \[ \tan(2\theta_p) = \frac{2 \cdot 12}{30 - (-10)} = \frac{24}{40} = 0.6 \] \[ 2\theta_p = \tan^{-1}(0.6) \approx 30.96^\circ \] \[ \theta_p \approx 15.48^\circ \] Resumindo: - Tensões principais: \( \sigma_1 \approx 33.32 \, \text{MPa} \), \( \sigma_3 \approx -13.32 \, \text{MPa} \) - Tensões de cisalhamento: \( \tau_{máx} \approx 43.32 \, \text{MPa} \), \( \tau_{mín} \approx -3.32 \, \text{MPa} \) - Ângulo de inclinação do plano principal: \( \theta_p \approx 15.48^\circ \)