Para calcular \( z^4 \) onde \( z = 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \), podemos usar a forma polar de números complexos. 1. Identificar \( z \): - \( z = 2 \text{cis}(\frac{\pi}{4}) \), onde \( \text{cis}(\theta) = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \). 2. Aplicar a fórmula de De Moivre: - \( z^n = r^n \text{cis}(n\theta) \). - Aqui, \( r = 2 \), \( \theta = \frac{\pi}{4} \) e \( n = 4 \). 3. Calcular \( z^4 \): - \( z^4 = 2^4 \text{cis}(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = 16 \text{cis}(\pi) \). 4. Converter para a forma exponencial: - \( \text{cis}(\pi) = e^{i\pi} \). - Portanto, \( z^4 = 16 e^{i\pi} \). Agora, analisando as alternativas: A) \( 16 e^{i \pi} \) - Correto. B) \( 16 e^{i\pi/2} \) - Incorreto. C) \( 16 e^{i 4\pi/4} \) - Equivale a \( 16 e^{i\pi} \), mas não é a forma mais simplificada. D) \( 16 e^{i 3\pi/4} \) - Incorreto. A resposta correta é: A) \( 16 e^{i \pi} \).