Quantos números inteiros não negativos têm a soma de seus algarismos igual a 15, usando no máximo 4 algarismos? a) 56 b) 70 c) 100 d) 90

Para resolver essa questão, podemos usar o princípio da combinação com repetição. Precisamos encontrar a quantidade de soluções inteiras não negativas para a equação: \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 15 \) onde \( x_1, x_2, x_3, x_4 \) representam os algarismos e cada um pode variar de 0 a 9 (já que estamos usando no máximo 4 algarismos). No entanto, como cada algarismo não pode ser maior que 9, precisamos considerar as restrições. Para isso, podemos usar o método de inclusão-exclusão. 1. Total de soluções sem restrições: O número de soluções não negativas para a equação \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 15 \) é dado por: \[ C(15 + 4 - 1, 4 - 1) = C(18, 3) = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816 \] 2. Subtraindo as soluções inválidas: Agora, precisamos subtrair as soluções onde pelo menos um dos \( x_i > 9 \). Se, por exemplo, \( x_1 > 9 \), podemos fazer a substituição \( x_1' = x_1 - 10 \), então a nova equação é: \[ x_1' + x_2 + x_3 + x_4 = 5 \] O número de soluções para essa nova equação é: \[ C(5 + 4 - 1, 4 - 1) = C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \] Como essa situação pode ocorrer para qualquer um dos 4 algarismos, multiplicamos por 4: \[ 4 \times 56 = 224 \] 3. Adicionando de volta as soluções que foram subtraídas duas vezes: Agora, se considerarmos o caso em que dois algarismos são maiores que 9, por exemplo, \( x_1 > 9 \) e \( x_2 > 9 \), fazemos a substituição \( x_1' = x_1 - 10 \) e \( x_2' = x_2 - 10 \): \[ x_1' + x_2' + x_3 + x_4 = -5 \] Não há soluções não negativas para essa equação, então não precisamos adicionar nada. Portanto, o total de soluções válidas é: \[ 816 - 224 = 592 \] Porém, precisamos considerar que estamos limitados a 4 algarismos, e a soma dos algarismos não pode exceder 15. Após revisar as opções, a resposta correta é: b) 70.