Qual é o valor de ∫C (1/(z-1)^2) dz, onde C é um círculo ao redor de z = 1? a) 0 b) 2πi c) -2πi d) Não existe

Para resolver a integral ∫C (1/(z-1)²) dz, onde C é um círculo ao redor de z = 1, precisamos aplicar o Teorema dos Resíduos. A função 1/(z-1)² tem um polo de ordem 2 em z = 1. Para calcular a integral ao longo de um caminho que envolve esse polo, usamos a fórmula do resíduo para polos de ordem superior. O resíduo de uma função f(z) em um polo de ordem n é dado por: Res(f, z₀) = (1/(n-1)!)*lim (z → z₀) d^(n-1)/dz^(n-1) [(z - z₀)ⁿ f(z)] Neste caso, n = 2 e z₀ = 1. Portanto, precisamos calcular: Res(1/(z-1)², 1) = lim (z → 1) d/dz [(z - 1)² * (1/(z-1)²)] = lim (z → 1) d/dz [1] = 0. Como o resíduo é 0, a integral ao longo do caminho C é: ∫C (1/(z-1)²) dz = 2πi * Res(1/(z-1)², 1) = 2πi * 0 = 0. Portanto, a resposta correta é: a) 0.