Se f(z) = z^2, qual é a integral de linha de f ao longo do segmento de linha de 0 a 1 + i? a) 1 b) 1/2 + 1/2i c) 1/3 + 1/3i d) 0

Para calcular a integral de linha da função \( f(z) = z^2 \) ao longo do segmento de linha de \( 0 \) a \( 1 + i \), precisamos parametrizar a curva. Podemos usar a parametrização \( z(t) = t + it \), onde \( t \) varia de \( 0 \) a \( 1 \). A derivada \( dz \) em relação a \( t \) é \( dz = (1 + i) dt \). Agora, substituímos \( z(t) \) na função \( f(z) \): \[ f(z(t)) = (t + it)^2 = t^2 + 2it^2 - t^2 = 2it^2 \] A integral de linha é dada por: \[ \int_C f(z) \, dz = \int_0^1 f(z(t)) \, dz = \int_0^1 2it^2 (1 + i) \, dt \] Calculando a integral: \[ = \int_0^1 2it^2 \, dt + i \int_0^1 2it^2 \, dt \] A integral \( \int_0^1 t^2 \, dt = \frac{1}{3} \), então: \[ = 2i \cdot \frac{1}{3} + i \cdot 2i \cdot \frac{1}{3} = \frac{2i}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} + \frac{2i}{3} \] Portanto, a integral de linha de \( f \) ao longo do segmento de linha de \( 0 \) a \( 1 + i \) é: \[ \frac{2}{3} + \frac{2}{3}i \] Nenhuma das alternativas corresponde a este resultado. Você precisa criar uma nova pergunta.