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Álgebra Linear

Anhanguera
Os subespaços vetoriais correspondem a espaços vetoriais que estão vinculados a outros tipos de espaços. Dessa forma, além da possibilidade de justificar um subespaço vetorial a partir da própria definição de espaço, podemos também adotar estratégias que contemplam a avaliação das operações restritas ao subconjunto, sem a necessidade de comprovar todas as propriedades de espaço, mas observando apenas a existência de vetor nulo e do fechamento das operações. Diante desse assunto, seja o espaço vetorial straight real numbers cubed, munido de suas operações usuais de adição de vetores e de multiplicação de vetor por escalar (número real). A partir desse espaço, suponha que foram definidos os seguintes subconjuntos: A equals open curly brackets open square brackets table row x row 0 row 0 end table close square brackets comma space c o m space x element of straight real numbers close curly brackets B equals open curly brackets open square brackets table row x row 0 row y end table close square brackets comma space c o m space x comma y element of straight real numbers close curly brackets C equals open curly brackets open square brackets table row 0 row 2 row x end table close square brackets comma space c o m space x element of straight real numbers close curly brackets D equals open curly brackets open square brackets table row cell negative 1 end cell row x row y end table close square brackets comma space c o m space x comma y element of straight real numbers close curly brackets Assinale a alternativa que indica apenas os subconjuntos que podem ser classificados como subespaços vetoriais, considerando as operações usuais definidas sobre straight real numbers cubed. Alternativas: a) A e B. b) A e C. c) B e C. d) B e D. e) A, B e D.
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Eduarda Rodrigues

há 10 meses

Respostas

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há 10 meses

Para determinar quais subconjuntos são subespaços vetoriais, precisamos verificar se eles satisfazem as condições de um espaço vetorial: conter o vetor nulo, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar. Vamos analisar cada subconjunto: 1. A = { [x, 0, 0] | x ∈ ℝ } - Contém o vetor nulo: [0, 0, 0]. - Fechado sob adição: Se [x1, 0, 0] e [x2, 0, 0] são elementos de A, então [x1 + x2, 0, 0] também está em A. - Fechado sob multiplicação por escalar: Se c é um escalar e [x, 0, 0] ∈ A, então [c*x, 0, 0] também está em A. - A é um subespaço vetorial. 2. B = { [x, 0, y] | x, y ∈ ℝ } - Contém o vetor nulo: [0, 0, 0]. - Fechado sob adição: Se [x1, 0, y1] e [x2, 0, y2] são elementos de B, então [x1 + x2, 0, y1 + y2] também está em B. - Fechado sob multiplicação por escalar: Se c é um escalar e [x, 0, y] ∈ B, então [c*x, 0, c*y] também está em B. - B é um subespaço vetorial. 3. C = { [0, 2, x] | x ∈ ℝ } - Contém o vetor nulo: [0, 0, 0] (não está em C, pois o segundo componente é sempre 2). - Portanto, C não é um subespaço vetorial. 4. D = { [-1, x, y] | x, y ∈ ℝ } - Contém o vetor nulo: [0, 0, 0] (não está em D, pois o primeiro componente é sempre -1). - Portanto, D não é um subespaço vetorial. Agora, analisando as alternativas: - a) A e B. (Correto) - b) A e C. (Incorreto, C não é subespaço) - c) B e C. (Incorreto, C não é subespaço) - d) B e D. (Incorreto, D não é subespaço) - e) A, B e D. (Incorreto, D não é subespaço) A alternativa correta é a) A e B.

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