Para encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos da função \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 \) no intervalo \([-2, 3]\), precisamos seguir alguns passos: 1. Encontrar a derivada da função: \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0 \] Resolvendo a equação quadrática: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2 \text{ e } x = -1 \] 3. Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo: - \( f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 12(-2) + 1 = -16 - 12 + 24 + 1 = -3 \) - \( f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 1 = -2 - 3 + 12 + 1 = 8 \) - \( f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 16 - 12 - 24 + 1 = -19 \) - \( f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 12(3) + 1 = 54 - 27 - 36 + 1 = -8 \) 4. Comparar os valores: - \( f(-2) = -3 \) - \( f(-1) = 8 \) (máximo absoluto) - \( f(2) = -19 \) (mínimo absoluto) - \( f(3) = -8 \) Portanto, as coordenadas do ponto de máximo absoluto são \((-1, 8)\) e as coordenadas do ponto de mínimo absoluto são \((2, -19)\). A alternativa correta é: A coordenadas do ponto de máximo absoluto: (-1, 8) coordenadas do ponto de mínimo absoluto: (2, -19).