Considerando o produto interno usual de R 3, determine uma base ortonormal para o subespaço W = { (x, y, z) ∈ R 3 / x− y + z = 0 } de R 3.

Para encontrar uma base ortonormal para o subespaço \( W = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y + z = 0 \} \), vamos seguir os passos abaixo: 1. Encontrar uma base para o subespaço: A equação \( x - y + z = 0 \) pode ser rearranjada para \( x + z = y \). Podemos expressar \( y \) em termos de \( x \) e \( z \): \[ y = x + z \] Assim, podemos parametrizar o subespaço \( W \) usando \( x \) e \( z \) como variáveis livres: \[ (x, y, z) = (x, x + z, z) = x(1, 1, 0) + z(0, 1, 1) \] Portanto, uma base para \( W \) é dada pelos vetores: \[ v_1 = (1, 1, 0) \quad \text{e} \quad v_2 = (0, 1, 1) \] 2. Ortogonalizar a base: Usaremos o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores \( v_1 \) e \( v_2 \). Primeiro, normalizamos \( v_1 \): \[ u_1 = v_1 = (1, 1, 0) \] O comprimento de \( u_1 \) é: \[ \|u_1\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \] O vetor unitário correspondente é: \[ e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) \] Agora, projetamos \( v_2 \) sobre \( u_1 \): \[ \text{proj}_{u_1}(v_2) = \frac{v_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 \] Calculando: \[ v_2 \cdot u_1 = (0, 1, 1) \cdot (1, 1, 0) = 1 \] \[ u_1 \cdot u_1 = 2 \] Portanto: \[ \text{proj}_{u_1}(v_2) = \frac{1}{2}(1, 1, 0) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \] Agora, subtraímos essa projeção de \( v_2 \): \[ u_2 = v_2 - \text{proj}_{u_1}(v_2) = \left(0, 1, 1\right) - \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right) \] 3. Normalizar \( u_2 \): O comprimento de \( u_2 \) é: \[ \|u_2\| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \] O vetor unitário correspondente é: \[ e_2 = \frac{2}{\sqrt{6}} \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right) \] 4. Base ortonormal: Assim, a base ortonormal para o subespaço \( W \) é: \[ e_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) \quad \text{e} \quad e_2 = \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right) \] Esses vetores formam uma base ortonormal para o subespaço \( W \).