Geometria Analítica_5

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MAT 135 – Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear – 2019/II
Lista 5:
1. Nos itens a seguir são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar
nele definidas. Verifique se eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não
se verificam.
(a) V = R2; (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) e λ(a, b) = (λa, λb), as operações usuais de R2.
(b) V = R2; (a, b) + (c, d) = (a+ b, 0) e a multiplicação escalar usual.
(c) V = R2; (a, b) + (c, d) = (a+ b, c+ d) e λ(a, b) = (λ2a, λ2b).
(d) V = R3; (a, b, c) + (x, y, z) = (a+ x, b+ y, c+ z) e λ(a, b, c) = (λa, b, c).
(e) V = R3; (a, b, c) + (x, y, z) = (3a+ 3x,−b− y, c+ z) e λ(a, b, c) = (3λa,−λb, c).
2. Sejam V1, V2, . . . , Vn espaços vetoriais sobre R. Considere o produto cartesiano V1 × V2 × . . .× Vn munido
das operações
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
λ (x1, x2, . . . , xn) = (λx1, λ x2, . . . , λ xn).
Prove que estas operações conferem ao conjunto V1×V2× . . .×Vn uma estrutura de espaço vetorial sobre
R.
3. Em Rn, defina as operações:
a⊕ b = a− b
α 	 a = αa,
com a, b ∈ Rn e α ∈ R.
Quais dos axiomas da definição de espaço vetorial são satisfeitos por Rn para as operações ⊕ e 	 ?
4. Em cada item deste exerćıcio são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W
é um subespaço vetorial de V.
(a) V = (R 3,+, .); W = { (x, y, z) ∈ R 3 / x+ y + z = 0 }.
(b) V = (R 3,+, .); W = { (x, y, z) ∈ R 3 / x+ y + z ≤ 1 }.
(c) V = (R 2,+, .); W = { (x, y) ∈ R 2 / x ≥ 0 }.
(d) V = (R 3,+, .); W = { (x, y, z) ∈ R 3 / x+ 3y = z }.
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(e) V = (R 2,+, .); W = { (x, y) ∈ R 2 / y ∈ Q }.
5. Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R 3 :
(a) Escreva w = (7,−11, 2) como combinação linear de u e v.
(b) O vetor (2,−5, 4) pode ser escrito como combinação linear de u e v ? Justifique.
(c) Para que valores de k o vetor w = (−8, 14, k) se escreve como combinação linear de u e v?
(d) Encontre condições sobre a, b e c de modo que o vetor w = (a, b, c) seja combinação linear de u e v.
6. Sejam u = (−1, 2, 1), v = (1, 2, 0) e w = (−2,−1, 0). Expressar cada um dos vetores v1 = (−8, 4, 1),
v2 = (0, 2, 3) e v3 = (0, 0, 0) como combinação linear de u, v e w.
7. Para qual valor de k o vetor u = (1,−2, k) em R 3 será uma combinação linear dos vetores v = (3, 0,−2)
e w = (2,−1− 5)?
8. Encontre condições sobre a, b e c de modo que o vetor w = (a, b, c) seja combinação linear de u = (1,−3, 2)
e w = (2,−1, 1).
9. Relativamente ao espaço vetorial real R 3:
(a) Escreva o vetor u = (3, 4,−2) como combinação linear dos vectores:
(1) v = (1, 2, 0), w = (0, 1, 2) e z = (1, 0, 2).
(2) v = (6, 0,−4), w = (0, 1, 0) e z = (3, 2,−2).
(b) Determine o valor de k, tal que u = (1,−2, k) possa ser escrito como combinação linear de v = (3, 0,−2)
e w = (2,−1,−5).
10. Os conjuntos abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Justifique! (Faça contas
somente quando for realmente necessário!)
(a) { (−1, 0, 2, 0, 1), (0, 1, 0,−2, 1), (−2, 3, 4,−6, 5) } ⊂ R 5.
(b) { (2,−1, 3) } ⊂ R 3.
(c) { (2,−1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0) } ⊂ R 3.
(d) { (2, 1, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 2) } ⊂ R 3.
(e) { (1, 1, 2), (1, 0, 0), (4, 6, 12) } ⊂ R 3.
(f) { (1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (0, 0, 1) } ⊂ R 3.
11. Suponha que {u, v, w} seja um conjunto L.I. Pergunta-se: {u + v, u − v, u − 2v + w} é um conjunto L.I.
ou L.D.? Justifique.
12. Suponha que S = { v1, v2, . . . , vn } seja L.I., mas { v1, v2, . . . , vn, w } seja L.D. Mostre que w é com-
binação linear dos vetores de S.
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13. Sejam v1, v2, . . . , vn vetores L.I. de um espaço vetorial V e suponha que u é uma combinação linear desses
vetores, digamos u = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn. Mostre que a representação de u acima é única. Dê um
exemplo em R 3 mostrando que se o conjunto de vetores for L.D., então a representação não será única.
14. Mostre que:
(a) Se {u, v, w} é um conjunto L.I., então {u+ v, u+ w, v + w} também é um conjunto L.I.
(b) Se um conjunto A em um espaço vetorial V é L.I., então qualquer subconjunto de A também é L.I.
15. Considere o conjunto de vetores {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} linearmente independente. Verifique que {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (2, 2, 0)}
é um conjunto de vetores linearmente dependente, e que consequentemente, (2, 2, 0) pode ser expresso como
combinação linear de (1, 0, 0) e (0, 1, 0).
16. Verfique que qualquer subconjunto de vetores obtido a partir do conjunto {(1,−1, 2), (1, 2,−1), (2, 1,−1)}
(conjunto de vetores linearmente independente) é linearmente independente.
17. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(a) W = { (x, y, z) ∈ R 3 / x+ z = 0 e x− 2y = 0 }.
(b) W = { (x, y, z) ∈ R 3 / x+ 2y − 3z = 0 }.
(c) W = { (x, y, z, t) ∈ R 4 / x+ 2y − z = 0 e t = 0 }.
(d) W = { (x, y, z, t) ∈ R 4 / 2x− 2y = 0 e t+ x = z }.
18. Para cada um dos subconjuntos S ⊂ V , onde V é o espaço vetorial indicado, encontrar o subespaço
gerado por S, isto é, [S].
(a) S = { (1, 0), (2,−1) }, V = R 2.
(b) S = { (1, 1, 1), (2, 2, 0) }, V = R 3.
(c) S = { (1, 2, 3), (0, 0, 2), (−2,−4,−2) }, V = R 3.
(d) S = { (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1) }, V = R 4.
19. Mostre que os conjuntos {(1,−1, 2), (3, 0, 1)} e {(−1,−2, 3), (3, 3,−4)} geram o mesmo subespaço vetorial
de R 3.
20. Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais:
(a) W = {(x, y) ∈ R 2 / 2x− 2y = 0}.
(b) W = {(x, y, z, t) ∈ R 4 / 2x− 2y = 0 e t+ x = z}.
(c) W = [(1, 2, 3), (0, 0, 2), (−2,−4,−2)].
(d) W = {(x, y, z, t) ∈ R 4 / x− y + t+ z = 0}.
21. Dados U, W subespaços do espaço vetorial V determinar, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de U.
(ii) uma base e a dimensão de W.
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(iii) uma base e a dimensão de U +W.
(iv) uma base e a dimensão de U ∩W.
(a) U = { (x, y, z) ∈ R 3 / x+ y + z = 0 }, W = { (x, y, 0) / x, y ∈ R }, V = R 3.
(b) U = { (x, y, z, t) ∈ R 4 / x+ y = t− z = 0 }, W = { (x, y, z, t) ∈ R 4 / z = t = 0 }, V = R 4.
(c) U = { (x, y, z) ∈ R 3 / x = 0 }, W = [(2, 2, 0), (1, 2, 3), (7, 12, 21), (−1,−2,−3)], V = R 3.
(d) U = { (x, y, z, t) ∈ R 4 / x− y + t+ z = 0 = 0 }, W = { (x, y, z, t) ∈ R 4 / x+ y − t+ z = 0 }, V = R 4.
22. Determine uma base de R 5 que contenha o conjunto { (1, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 0) }. Justifique sua resposta.
23. Mostre que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3), v3 = (3, 0, 2) e v4 = (2,−1, 1) geram o R 3 e encontrar
uma base para R 3 dentre esses vetores.
24. Verifique que R 3 é a soma direta de U = { (x, y, z) ∈ R 3 / x+ y+ z = 0 } e W = {(x, y, z) ∈ R 3 / x = y =
0 }.
25. Verifique se R 2 é a soma direta de U = { (x, y) ∈ R 2 / 2x+ 3y = 0 } e W = {(x, y) ∈ R 2 / x− y = 0 }.
26. Sejam L = {(x, y, z) ∈ R 3 : x + y + z = 0} e M = {(x, x, x) : x ∈ R} subespaços do espaço vetorial real
R 3 e sejam A = L ∪M,B = L ∩M e C = L+M.
(a) Determine A,B e C.
(b) Dos subconjuntos A,B e C de R 3, qual(is) é(são) subespaço(s) do espaço vetorial R 3?
27. No espaço vetorial real R 3 :
(a) Mostre que F = {(x, y, z) ∈ R 3 : x− 3y + 3z = 0} é um subespaço vetorial de R 3.
(b) Caracterize o subespaço G do espaço vetorial R 3 gerado pelo conjunto {u1, u2}, sendo u1 = (1, 0, 2)
e u2 = (0, 1, 1).
(c) Caracterize o subespaço F ∩G e indique a sua dimensão.
(d) Verifique que o conjunto {u1, u2, u3} constitui uma base de R 3, sendo u3 um vetor de R 3 não perten-
cente a G.
28. No espaço vetorial real R 3, considere os seguintes subespaços:
A = {(a, b, 0) ∈ R 3 : a, b ∈ R};
B = {(0, b, c) ∈ R 3 : b, c ∈ R};
C = {(0, 0, c) ∈ R 3 : c ∈ R};
D = {(a, b, c) ∈ R 3 : a = b = c}.
(a) Mostre que R 3 = A+B.
(b) Mostre que R 3 não é soma direta de A e B.
(c) Mostre que R 3 = A⊕ C e R 3 = B ⊕D.
(d) Determine dim(A), dim(B), dim(C) e dim(D). Verifique que em qualquer dos casos dim(R 3)=
dim(A) + dim(C) = dim(B) + dim(D).
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29. Determine as coordenadas do vetor v = (1, 0, 0) em relação à base γ = { (1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}.
30. Determine as coordenadas do vetor u = (4, 5, 3) de R 3 em relação às seguintes bases:
(a) Canônica;
(b) { (1, 1, 1), (1, 2, 0), (3, 1, 0) };
(c) { (1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4) }.
31. Considere a base ordenada γ = { v1, v2, v3 } de R 3 onde v1 = (1, 0,−1), v2 = (1, 1, 1) e v3 = (1, 0, 0),
Encontre as coordenadas do vetor u = (a, b, c) ∈ R 3 com relação à base ordenada γ.
32. Considere o espaço vetorial real R 2. A matriz de mudança da base ordenada γ = { (1, 1), (−2, 2) } para a
base ordenada α = { v1, v2 } é dada por (
1 0
4 −2
)
.
Determine a base ordenada α. Determine o elemento u ∈ R 2 tal que [u]α =
(
1
2
)
.
33. Considere as bases β = {u1, u2, u3 } e γ = {w1, w2, w3 } de R 3, relacionadas da seguinte forma:
w1 = u1 − u2 − u3
w2 = 2u2 + 3u3
w3 = 3u1 + 3u3
.
(a) Determine as matrizes de mudança de base [I]βγ e [I]γβ .
(b) Sabendo que [u]β =
 1
2
3
 , determine o vetor u com relação à base γ.
34. Considere a seguinte matriz de mudança de base
[I]ββ′ =
 1 1 0
0 −1 1
1 0 −1
 .
Encontre:
(a) [v]β , sabendo que [v]β′ =
 −1
2
3
 .
(b) [v]β′ , sabendo que [v]β =
 −1
2
3
 .
35. Considere em R 3 as bases α = {v1 = (2, 1, 1), v2 = (0, 0, 1), v3 = (−1, 1, 1)} e β = {u1 = (1, 1, 0), u2 =
(−1, 1, 1), u3 = (0, 1, 2)}.
(a) Determine [I]αβ .
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(b) Usando o item anterior, escreva o vetor 5u1 + 4u2 + u3 como combinação linear dos vetores v1, v2 e
v3.
36. Mostre que γ = { (1, 1, 1), (1, 0,−1), (1,−2, 1) } é uma base ortogonal de R 3. γ é uma base ortonormal?
Caso negativo, obtenha uma base ortogonal de R 3 a partir de γ.
37. Dada a base γ = { (1, 0), (1, 1) } de R 2, utilize o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal
de R 2.
38. Dada a base α = { (1, 1, 1), (−1, 0,−1), (−1, 2, 3) } de R 3, utilize o processo de Gram-Schmidt para obter
uma base ortonormal de R 3.
39. Considerando o produto interno usual de R 3, determine uma base ortonormal para o subespaço W =
{ (x, y, z) ∈ R 3 / x− y + z = 0 } de R 3.
40. Verifique se as seguintes aplicações definem ou não produtos internos em R 3 :
(a) 〈u, v〉 = u1v1 + 2u2v2 + u1v2 + u2v1 + u3v3.
(b) 〈u, v〉 = 3u1v1 − u1v2 − u2v1 + 2u2v2 + 5u3v3.
41. Relativamente aos produtos internos definidos no exerćıcio anterior, determine 〈u, v〉, onde:
(a) u = (1, 1, 1) e v = (1, 2, 3).
(b) u = (−1, 0, 1) e v = (−1,−2, 0).
42. Considere definido em R 3 o produto interno usual. Aplique o processo de ortogonalização de Gram-
Schmidt às seguintes bases:
(a) {(1,−2, 2), (−1, 0, 1), (5,−3,−7)}.
(b) {(1, 0, 2), (−1, 1, 1), (1,−3, 0)}.
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