Para encontrar o valor de \( a \) que faz com que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \) e \( \overrightarrow{AD} \) seja igual a 10, precisamos calcular o volume usando o produto misto dos vetores. O volume \( V \) do paralelepípedo é dado por: \[ V = | \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) | \] Primeiro, vamos calcular o produto vetorial \( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \). Os vetores são: - \( \overrightarrow{AB} = (1, 0, 1) \) - \( \overrightarrow{AC} = (1, 2, 3) \) - \( \overrightarrow{AD} = (0, a, 1-a) \) Calculando \( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} \): \[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & a & 1-a \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ = \hat{i} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ a & 1-a \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1-a \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & a \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i} (2(1-a) - 3a) - \hat{j} (1(1-a) - 0) + \hat{k} (1 \cdot a - 0) \] \[ = \hat{i} (2 - 2a - 3a) - \hat{j} (1 - a) + \hat{k} (a) \] \[ = \hat{i} (2 - 5a) - \hat{j} (1 - a) + \hat{k} (a) \] Assim, temos: \[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = (2 - 5a, -(1 - a), a) \] Agora, calculamos o produto escalar \( \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) \): \[ \overrightarrow{AB} \cdot (2 - 5a, -(1 - a), a) = 1(2 - 5a) + 0(-1 + a) + 1(a) \] \[ = 2 - 5a + a = 2 - 4a \] O volume é dado por: \[ V = |2 - 4a| \] Para que o volume seja igual a 10, temos: \[ |2 - 4a| = 10 \] Isso nos dá duas equações: 1. \( 2 - 4a = 10 \) 2. \( 2 - 4a = -10 \) Resolvendo a primeira: \[ 2 - 4a = 10 \implies -4a = 8 \implies a = -2 \] Resolvendo a segunda: \[ 2 - 4a = -10 \implies -4a = -12 \implies a = 3 \] Portanto, os valores de \( a \) que satisfazem a condição são \( a = -2 \) e \( a = 3 \).