15 — Dados os vetores u = (1, 2,−1) e v = (2, 1, 0). Expresse o vetor a = (2, 2, 3) como combinação de u,v,u× v;

Para expressar o vetor \( \mathbf{a} = (2, 2, 3) \) como uma combinação dos vetores \( \mathbf{u} = (1, 2, -1) \), \( \mathbf{v} = (2, 1, 0) \) e \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \), precisamos primeiro calcular o produto vetorial \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \). 1. Cálculo do produto vetorial \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \): \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) \] \[ = \mathbf{i}(0 + 1) - \mathbf{j}(0 + 2) + \mathbf{k}(1 - 4) \] \[ = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k} \] Portanto, \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (1, -2, -3) \). 2. Expressar \( \mathbf{a} \) como combinação linear: Precisamos encontrar \( x, y, z \) tais que: \[ \mathbf{a} = x\mathbf{u} + y\mathbf{v} + z(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \] Ou seja: \[ (2, 2, 3) = x(1, 2, -1) + y(2, 1, 0) + z(1, -2, -3) \] Isso resulta no seguinte sistema de equações: \[ \begin{cases} x + 2y + z = 2 \\ 2x + y - 2z = 2 \\ -x - 3z = 3 \end{cases} \] 3. Resolvendo o sistema: Da terceira equação, temos: \[ -x - 3z = 3 \implies x = -3 - 3z \] Substituindo \( x \) na primeira equação: \[ (-3 - 3z) + 2y + z = 2 \implies 2y - 2z = 5 \implies y - z = \frac{5}{2} \implies y = z + \frac{5}{2} \] Agora, substituindo \( x \) e \( y \) na segunda equação: \[ 2(-3 - 3z) + (z + \frac{5}{2}) - 2z = 2 \] \[ -6 - 6z + z + \frac{5}{2} - 2z = 2 \implies -7z - \frac{7}{2} = 2 \implies -7z = \frac{4 + 7}{2} \implies z = -\frac{11}{14} \] Agora, substituindo \( z \) para encontrar \( y \): \[ y = -\frac{11}{14} + \frac{5}{2} = -\frac{11}{14} + \frac{35}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7} \] E substituindo \( z \) para encontrar \( x \): \[ x = -3 - 3(-\frac{11}{14}) = -3 + \frac{33}{14} = -\frac{42}{14} + \frac{33}{14} = -\frac{9}{14} \] 4. Resultado final: Portanto, a combinação linear é: \[ \mathbf{a} = -\frac{9}{14} \mathbf{u} + \frac{12}{7} \mathbf{v} - \frac{11}{14} (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \] Assim, \( \mathbf{a} \) pode ser expressa como uma combinação dos vetores \( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \) e \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \).