22 — Prove que em geral u· (v×w) pode ser escrito como o determinante da matriz que tem como componentes ∣ a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 ∣

Para provar que \( \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \) pode ser escrito como o determinante da matriz cujos componentes são \( \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \), onde \( \mathbf{u} = (a_1, a_2, a_3) \), \( \mathbf{v} = (b_1, b_2, b_3) \) e \( \mathbf{w} = (c_1, c_2, c_3) \), podemos seguir os seguintes passos: 1. Definição do produto vetorial: O produto vetorial \( \mathbf{v} \times \mathbf{w} \) é dado por: \[ \mathbf{v} \times \mathbf{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \] O resultado é um vetor cujas componentes são: \[ \begin{pmatrix} b_2c_3 - b_3c_2 \\ b_3c_1 - b_1c_3 \\ b_1c_2 - b_2c_1 \end{pmatrix} \] 2. Produto escalar: Agora, calculamos \( \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \): \[ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = (a_1, a_2, a_3) \cdot \begin{pmatrix} b_2c_3 - b_3c_2 \\ b_3c_1 - b_1c_3 \\ b_1c_2 - b_2c_1 \end{pmatrix} \] Isso resulta em: \[ a_1(b_2c_3 - b_3c_2) + a_2(b_3c_1 - b_1c_3) + a_3(b_1c_2 - b_2c_1) \] 3. Determinante: O determinante da matriz \( \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \) é calculado da mesma forma e resulta na mesma expressão: \[ a_1(b_2c_3 - b_3c_2) + a_2(b_3c_1 - b_1c_3) + a_3(b_1c_2 - b_2c_1) \] Assim, concluímos que: \[ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \] Portanto, a afirmação está provada!