Vamos analisar cada uma das alternativas para identificar a única que é falsa: a) A teoria da otimização é utilizada para resolver problemas de determinação dos limites infinitos. - Esta afirmação é falsa, pois a teoria da otimização se concentra em encontrar máximos e mínimos de funções, enquanto a determinação de limites infinitos é um conceito diferente. b) Um ponto máximo relativo é um ponto onde a função muda sua direção de crescente para decrescente. - Esta afirmação é verdadeira. Um ponto máximo relativo ocorre quando a função atinge um valor máximo local. c) Um ponto mínimo relativo é um ponto onde a função muda sua direção de decrescente para crescente. - Esta afirmação também é verdadeira. Um ponto mínimo relativo ocorre quando a função atinge um valor mínimo local. d) Para identificar um limite no infinito, basta verificar se x→+∞ ou se x→−∞. - Esta afirmação é verdadeira. Para analisar limites no infinito, observamos o comportamento da função quando x tende a mais ou menos infinito. e) A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico da função em um ponto. - Esta afirmação é verdadeira. A derivada realmente representa a inclinação da reta tangente em um ponto específico da função. Portanto, a única alternativa falsa é a) "a teoria da otimização é utilizada para resolver problemas de determinação dos limites infinitos."