Para resolver a questão, vamos usar a relação dada pela Lei de Stefan-Boltzmann e a definição de luminosidade. A luminosidade \( L \) de uma estrela é dada por: \[ L = 4\pi R^2 \sigma T^4 \] onde: - \( R \) é o raio da estrela, - \( \sigma \) é a constante de Stefan-Boltzmann, - \( T \) é a temperatura efetiva da estrela. Dado que a estrela é 100 vezes mais luminosa que o Sol, temos: \[ L = 100 L_{\odot} \] E a temperatura efetiva da estrela é a metade da do Sol: \[ T = \frac{T_{\odot}}{2} \] Substituindo na fórmula da luminosidade para a estrela e para o Sol, temos: Para a estrela: \[ 100 L_{\odot} = 4\pi R^2 \sigma \left(\frac{T_{\odot}}{2}\right)^4 \] Para o Sol: \[ L_{\odot} = 4\pi R_{\odot}^2 \sigma T_{\odot}^4 \] Agora, vamos substituir \( L_{\odot} \) na equação da estrela: \[ 100 (4\pi R_{\odot}^2 \sigma T_{\odot}^4) = 4\pi R^2 \sigma \left(\frac{T_{\odot}}{2}\right)^4 \] Cancelando \( 4\pi \sigma \) de ambos os lados, obtemos: \[ 100 R_{\odot}^2 T_{\odot}^4 = R^2 \left(\frac{T_{\odot}}{2}\right)^4 \] Simplificando a parte da temperatura: \[ \left(\frac{T_{\odot}}{2}\right)^4 = \frac{T_{\odot}^4}{16} \] Substituindo isso na equação: \[ 100 R_{\odot}^2 T_{\odot}^4 = R^2 \frac{T_{\odot}^4}{16} \] Cancelando \( T_{\odot}^4 \): \[ 100 R_{\odot}^2 = \frac{R^2}{16} \] Multiplicando ambos os lados por 16: \[ 1600 R_{\odot}^2 = R^2 \] Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados: \[ R = 40 R_{\odot} \] Portanto, a razão entre o raio da estrela e o raio do Sol é: \[ \frac{R}{R_{\odot}} = 40 \] Assim, a resposta correta é que o raio da estrela é 40 vezes o raio do Sol.