Para encontrar um vetor \(\vec{w}\) que seja ortogonal aos vetores \(\vec{u} = (4, 2, -3)\) e \(\vec{v} = (1, 0, 2)\), podemos usar o produto vetorial. O produto vetorial \(\vec{u} \times \vec{v}\) é dado por: \[ \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, temos: \[ \vec{w} = \hat{i} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \] Calculando cada um dos determinantes: 1. \(\hat{i}(2 \cdot 2 - 0 \cdot -3) = 4\hat{i}\) 2. \(-\hat{j}(4 \cdot 2 - 1 \cdot -3) = -\hat{j}(8 + 3) = -11\hat{j}\) 3. \(\hat{k}(4 \cdot 0 - 1 \cdot 2) = -2\hat{k}\) Portanto, o vetor \(\vec{w}\) é: \[ \vec{w} = (4, -11, -2) \] Esse vetor \(\vec{w}\) é ortogonal aos vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\).