Para resolver a equação funcional dada, vamos analisar a condição: \[ f(x^2y - y) = f(x)^2 f(y) + f(x)^2 - 1. \] 1. Substituição de valores: Começamos substituindo valores específicos para \(x\) e \(y\) para simplificar a equação. - Se \(y = 0\): \[ f(x^2 \cdot 0 - 0) = f(x)^2 f(0) + f(x)^2 - 1 \implies f(0) = f(x)^2 f(0) + f(x)^2 - 1. \] Isso nos dá uma relação entre \(f(0)\) e \(f(x)\). 2. Análise de \(f(0)\): Se \(f(0) = 1\), a equação se torna: \[ 1 = f(x)^2 \cdot 1 + f(x)^2 - 1 \implies 1 = 2f(x)^2 - 1 \implies 2f(x)^2 = 2 \implies f(x)^2 = 1. \] Portanto, \(f(x) = 1\) ou \(f(x) = -1\) para todo \(x\). 3. Verificação das soluções: - Se \(f(x) = 1\) para todo \(x\): \[ f(x^2y - y) = 1 \quad \text{e} \quad f(x)^2 f(y) + f(x)^2 - 1 = 1 \cdot 1 + 1 - 1 = 1. \] Isso é válido. - Se \(f(x) = -1\) para todo \(x\): \[ f(x^2y - y) = -1 \quad \text{e} \quad f(x)^2 f(y) + f(x)^2 - 1 = 1 \cdot (-1) + 1 - 1 = -1. \] Isso também é válido. 4. Conclusão: As únicas funções que satisfazem a equação funcional são: \[ f(x) = 1 \quad \text{ou} \quad f(x) = -1 \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R}. \] Portanto, as soluções são \(f(x) = 1\) e \(f(x) = -1\) para todos os \(x\) reais.