Seja n um número inteiro positivo. Qual é a soma dos cubos dos divisores de n, denotada por σ_3(n), se n é da forma p^k, onde p é primo e k é um inteiro positivo?
A) (p^{3(k+1)} - 1)/(p^3 - 1)
B) (p^{k+1} - 1)/(p - 1)
C) p^{k+1}
D) (p^{3k} - 1)/(p - 1)

Question

Seja n um número inteiro positivo. Qual é a soma dos cubos dos divisores de n, denotada por σ_3(n), se n é da forma p^k, onde p é primo e k é um in...

Ed · Answer

Para resolver a questão sobre a soma dos cubos dos divisores de $ n $ na forma $ p^k $, onde $ p $ é um número primo e $ k $ é um inteiro positivo, precisamos usar a fórmula para a soma dos cubos dos divisores.

Os divisores de $ n = p^k $ são $ 1, p, p^2, \ldots, p^k $. A soma dos cubos desses divisores é:

$$
\sigma_3(n) = 1^3 + p^3 + (p^2)^3 + \ldots + (p^k)^3 = 1 + p^3 + p^6 + \ldots + p^{3k}
$$

Isso é uma progressão geométrica com $ k+1 $ termos, onde o primeiro termo é $ 1 $ e a razão é $ p^3 $. A soma de uma progressão geométrica é dada pela fórmula:

$$
S = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}
$$

onde $ a $ é o primeiro termo, $ r $ é a razão e $ n $ é o número de termos. Aplicando isso aqui:

$$
\sigma_3(n) = \frac{1(1 - (p^3)^{k+1})}{1 - p^3} = \frac{1 - p^{3(k+1)}}{1 - p^3}
$$

Rearranjando, obtemos:

$$
\sigma_3(n) = \frac{p^{3(k+1)} - 1}{p^3 - 1}
$$

Portanto, a alternativa correta é:

A) $(p^{3(k+1)} - 1)/(p^3 - 1)$

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Seja n um número inteiro positivo. Qual é a quantidade de números primos p tais que p ≤ n e p ≡ 3 mod 4?
A) Sempre é par.
B) Sempre é ímpar.
C) Pode ser zero.
D) Sempre é maior que √n.

Seja n um número inteiro positivo. Qual é a soma dos divisores de n, denotada por σ(n), se n é da forma p_1^{k_1} p_2^{k_2} ... p_m^{k_m}?
A) ∏_{i=1}^{m} (p_i^{k_i + 1} - 1)/(p_i - 1)
B) ∏_{i=1}^{m} p_i^{k_i}
C) ∏_{i=1}^{m} (k_i + 1)
D) ∏_{i=1}^{m} p_i^{k_i + 1}

Seja n um número inteiro positivo. Qual é a soma dos divisores de n, denotada por σ(n), se n é da forma p^k, onde p é primo e k é um inteiro positivo?
A) (p^{k+1} - 1)/(p - 1)
B) p^{k+1}
C) (p^{k} - 1)/(p - 1)
D) p^{k}

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Seja n um número inteiro positivo. Qual é a soma dos divisores de n, denotada por σ(n), se n é da forma p_1^{k_1} p_2^{k_2} ... p_m^{k_m}?A) ∏_{i=1}^{m} (p_i^{k_i + 1} - 1)/(p_i - 1)B) ∏_{i=1}^{m} p_i^{k_i}C) ∏_{i=1}^{m} (k_i + 1)D) ∏_{i=1}^{m} p_i^{k_i + 1}

Seja n um número inteiro positivo. Qual é a soma dos divisores de n, denotada por σ(n), se n é da forma p^k, onde p é primo e k é um inteiro positivo?A) (p^{k+1} - 1)/(p - 1)B) p^{k+1}C) (p^{k} - 1)/(p - 1)D) p^{k}

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A) Sempre é par.
B) Sempre é ímpar.
C) Pode ser zero.
D) Sempre é maior que √n.

Seja n um número inteiro positivo. Qual é a soma dos divisores de n, denotada por σ(n), se n é da forma p_1^{k_1} p_2^{k_2} ... p_m^{k_m}?
A) ∏_{i=1}^{m} (p_i^{k_i + 1} - 1)/(p_i - 1)
B) ∏_{i=1}^{m} p_i^{k_i}
C) ∏_{i=1}^{m} (k_i + 1)
D) ∏_{i=1}^{m} p_i^{k_i + 1}

Seja n um número inteiro positivo. Qual é a soma dos divisores de n, denotada por σ(n), se n é da forma p^k, onde p é primo e k é um inteiro positivo?
A) (p^{k+1} - 1)/(p - 1)
B) p^{k+1}
C) (p^{k} - 1)/(p - 1)
D) p^{k}