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Seja t(x) = \frac{\sin(x)}{x}. Determine o limite \lim_{x \to 0} t(x) e analise o comportamento da função nesse ponto.
A) 0
B) 1
C) Infinito
D) Não existe
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1V4B o futuro
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1V4B o futuro

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Para determinar o limite \(\lim_{x \to 0} t(x)\), onde \(t(x) = \frac{\sin(x)}{x}\), podemos usar o fato conhecido de que: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \] Esse resultado é fundamental em cálculo e pode ser demonstrado usando a regra de L'Hôpital ou a série de Taylor para \(\sin(x)\). Analisando as alternativas: A) 0 - Incorreto, pois o limite não é zero. B) 1 - Correto, pois \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\). C) Infinito - Incorreto, pois o limite não tende a infinito. D) Não existe - Incorreto, pois o limite existe e é igual a 1. Portanto, a alternativa correta é: B) 1.

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Seja p(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}. Determine as assintotas verticais e horizontais da função.
A) Assintota vertical em \( x = 1 \), assintota horizontal em \( y = 1 \)
B) Assintota vertical em \( x = 1 \) e \( x = -1 \), sem assintota horizontal
C) Sem assintota vertical, assintota horizontal em \( y = 1 \)
D) Sem assintotas

Dada a função q(x) = e^{3x} \sin(2x), determine a derivada q'(x) utilizando a regra do produto e analise seu comportamento.
A) \( 3e^{3x} \sin(2x) + 2e^{3x} \cos(2x) \)
B) \( e^{3x} (3\sin(2x) + 2\cos(2x)) \)
C) \( e^{3x} (3\cos(2x) - 2\sin(2x)) \)
D) \( 2e^{3x} \sin(2x) + 3e^{3x} \cos(2x) \)

Seja r(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}. Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} r(x) \) e analise o comportamento assintótico da função.
A) 0
B) 1
C) -1
D) Não existe

Dada a função s(x) = ln(x^2 + 1), calcule a derivada s'(x) e determine os pontos críticos da função.
A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)
B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)
C) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)
D) \( \frac{1}{x} \)

Seja u(x) = e^{-x^2}. Determine a derivada u'(x) e analise seu comportamento em relação ao crescimento da função.
A) \( -2xe^{-x^2} \)
B) \( -e^{-x^2} \)
C) \( 2xe^{-x^2} \)
D) \( e^{-x^2} \)

Dada a função w(x) = \tan^{-1}(x), calcule a derivada w'(x) e analise seu comportamento em relação ao crescimento da função.

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