Para determinar a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), vamos aplicar a regra da cadeia. 1. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = x^2 + 1 \). 2. A derivada de \( u \) em relação a \( x \) é \( u' = 2x \). Portanto, a derivada \( f'(x) \) é: \[ f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \] Agora, vamos analisar o comportamento de \( f'(x) \): - Para \( x > 0 \), \( f'(x) > 0 \) (a função está crescendo). - Para \( x < 0 \), \( f'(x) < 0 \) (a função está decrescendo). - Para \( x = 0 \), \( f'(0) = 0 \). Com isso, podemos analisar as alternativas: A) \( f'(x) > 0 \) para todo \( x \) - Incorreta (não é verdade para \( x < 0 \)). B) \( f'(x) < 0 \) para todo \( x \) - Incorreta (não é verdade para \( x > 0 \)). C) \( f'(x) = 0 \) para \( x = 0 \) - Correta (a derivada é zero nesse ponto). D) \( f'(x) \) não existe para \( x < 0 \) - Incorreta (a derivada existe para todos os \( x \)). Portanto, a alternativa correta é: C) \( f'(x) = 0 \) para \( x = 0 \).