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Se \( X \) é um espaço topológico e \( A \subseteq X \) é um conjunto fechado, qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A) O complemento de \( A \) em \( X \) é aberto.
B) O conjunto \( A \) é sempre denso em \( X \).
C) O conjunto \( A \) é compacto.
D) O conjunto \( A \) é sempre aberto.
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Vamos analisar cada uma das alternativas para determinar qual é verdadeira, considerando que \( A \) é um conjunto fechado em um espaço topológico \( X \): A) O complemento de \( A \) em \( X \) é aberto. - Esta afirmação é verdadeira. Por definição, o complemento de um conjunto fechado é sempre um conjunto aberto. B) O conjunto \( A \) é sempre denso em \( X \). - Esta afirmação não é verdadeira. Um conjunto fechado pode não ser denso em \( X \). C) O conjunto \( A \) é compacto. - Esta afirmação não é necessariamente verdadeira. Um conjunto fechado pode ser compacto, mas não é uma condição garantida em todos os espaços topológicos. D) O conjunto \( A \) é sempre aberto. - Esta afirmação é falsa, pois um conjunto fechado não é, em geral, um conjunto aberto. Portanto, a alternativa correta é: A) O complemento de \( A \) em \( X \) é aberto.

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O conjunto \( \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < 1\} \) é um conjunto aberto.

Sejam \( A \) e \( B \) dois subconjuntos de um espaço topológico \( X \). Qual das seguintes afirmacoes é verdadeira sobre a interseção \( A \cap B \)?
A) Se \( A \) é aberto e \( B \) é fechado, então \( A \cap B \) é aberto.
B) Se \( A \) e \( B \) são abertos, então \( A \cap B \) é fechado.
C) Se \( A \) e \( B \) são fechados, então \( A \cap B \) é fechado.
D) Se \( A \) é fechado e \( B \) é aberto, então \( A \cap B \) é fechado.

Qual das seguintes propriedades caracteriza um espaço topológico como compacto?
A) Todo conjunto aberto é finito.
B) Todo conjunto aberto cobre \( X \) possui uma subcobertura finita.
C) Todo conjunto fechado é limitado.
D) Todo conjunto aberto é denso em \( X \).

Considere o espaço topológico \( \mathbb{R} \) com a topologia usual. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A) O conjunto \( \mathbb{R} \) é compacto.
B) O conjunto \( [0, 1] \) é compacto.
C) O conjunto \( (0, 1) \) é compacto.
D) O conjunto \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) é compacto.

O que é um espaço topológico Hausdorff?
A) Um espaço onde todo par de pontos distintos pode ser separado por vizinhanças abertas.
B) Um espaço onde todo conjunto é aberto.
C) Um espaço onde todo conjunto fechado é compacto.
D) Um espaço onde a interseção de dois conjuntos abertos é sempre aberta.

Qual das seguintes afirmações sobre a topologia discreta é verdadeira?
A) Todo conjunto é fechado.
B) Todo conjunto é aberto.
C) A topologia discreta é sempre compacta.
D) A topologia discreta é sempre Hausdorff.

O que caracteriza um espaço topológico como conexo?
A) Não pode ser representado como a união de dois conjuntos abertos disjuntos.
B) Todo conjunto aberto é denso.
C) Todo conjunto fechado é compacto.
D) Todo conjunto é conexo.

Se \( f: X \to Y \) é uma função contínua entre espaços topológicos \( X \) e \( Y \), qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A) A imagem de um conjunto aberto em \( X \) é sempre aberta em \( Y \).
B) A imagem de um conjunto fechado em \( X \) é sempre fechada em \( Y \).
C) A imagem de um conjunto compacto em \( X \) é sempre compacta em \( Y \).
D) A imagem de um conjunto conexo em \( X \) é sempre conexa em \( Y \).

O que é um espaço topológico localmente compacto?
A) Todo ponto tem uma vizinhança compacta.
B) Todo conjunto aberto é compacto.
C) Todo conjunto fechado é limitado.
D) Todo espaço é localmente compacto.

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