Se a e b são números inteiros positivos tal que a^2 + b^2 é um quadrado perfeito, qual a menor soma a + b possível? A) 5 B) 10 C) 13

Para resolver a questão, precisamos encontrar números inteiros positivos \( a \) e \( b \) tais que \( a^2 + b^2 \) seja um quadrado perfeito e, ao mesmo tempo, minimizar a soma \( a + b \). Vamos analisar as opções: 1. A) 5: Se \( a + b = 5 \), as combinações possíveis são \( (1, 4) \) e \( (2, 3) \): - Para \( (1, 4) \): \( 1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17 \) (não é quadrado perfeito). - Para \( (2, 3) \): \( 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \) (não é quadrado perfeito). 2. B) 10: Se \( a + b = 10 \), as combinações possíveis são \( (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6) \): - Para \( (1, 9) \): \( 1^2 + 9^2 = 1 + 81 = 82 \) (não é quadrado perfeito). - Para \( (2, 8) \): \( 2^2 + 8^2 = 4 + 64 = 68 \) (não é quadrado perfeito). - Para \( (3, 7) \): \( 3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58 \) (não é quadrado perfeito). - Para \( (4, 6) \): \( 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52 \) (não é quadrado perfeito). 3. C) 13: Se \( a + b = 13 \), as combinações possíveis são \( (1, 12), (2, 11), (3, 10), (4, 9), (5, 8), (6, 7) \): - Para \( (5, 8) \): \( 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 \) (não é quadrado perfeito). - Para \( (6, 7) \): \( 6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85 \) (não é quadrado perfeito). Após analisar as opções, percebemos que a menor soma \( a + b \) que resulta em \( a^2 + b^2 \) sendo um quadrado perfeito não está nas opções dadas. No entanto, a soma \( a + b = 10 \) é a menor que se aproxima, mas não resulta em um quadrado perfeito. Portanto, a resposta correta, considerando as opções dadas e a análise, é B) 10, pois é a menor soma que se aproxima, mesmo que não tenha resultado em um quadrado perfeito.